Даны координаты треугольника: A(7,4), B(-9,-8), C(-2,16).
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = -9-7 = -16; Y = -8-4 = -12
AB(-16;-12)
AC(-9;12)
BC(7;24)
2) Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами BA и BC

γ = arccos(0.8) = 36.870
7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

M(5/2;10)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(-9;-8) и М(5/2;10), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 36/23x + 140/23 или 23y -36x - 140 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(7;4) и прямой BC (7y -24x - 160 = 0)

9) Уравнение высоты через вершину A
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

y = -7/24x + 145/24 или 24y +7x -145 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой BC.
Уравнение BC: y = 24/7x + 160/7, т.е. k1 = 24/7
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
24/7k = -1, откуда k = -7/24
Так как перпендикуляр проходит через точку A(7,4) и имеет k = -7/24,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 7, k = -7/24, y0 = 4 получим:
y-4 = -7/24(x-7)
или
y = -7/24x + 145/24 или 24y + 7x - 145 = 0
Найдем точку пересечения с прямой BC:
Имеем систему из двух уравнений:
7y -24x - 160 = 0
24y + 7x - 145 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = -113/25
y = 184/25

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Аналитическая геометрия
Вместе с этой задачей решают также:
Аналитическая геометрия
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса
Copyright © Semestr.RU