Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя

Пример №2. Найти .
Решение. .

Правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение производных снова дает неопределенность или .

Пример №3. Найти .

Решение.
.

Замечание 1. Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно получить неверный результат.

Замечание 2. В теореме требование существования является существенным, так как если он не существует, то это не означает, что тоже не существует. Например, – не существует, однако .

Неопределенности вида 0·∞ и ∞-∞ с помощью тождественных преобразований сводятся к неопределенностям 0/0 или ∞/∞ и затем раскрываются по правилу Лопиталя.
Неопределенность 0·∞ возникает, если требуется найти при условии . В результате преобразования (либо ) получается неопределенность 0/0 (либо ∞/∞).
Если нужно найти , причем и , то, представив разность f(x) – g(x) = , получим неопределенность 0/0. Неопределенности вида 0⁰, 1^∞, ∞⁰ путем логарифмирования выражения [f(x)]^g(x)сводятся к неопределенности 0·∞, рассмотренной выше.

Пример №4. Найти .
Решение. Здесь имеем неопределенность 0·∞. Перепишем данное выражение в виде .
Теперь можно применить правило Лопиталя:

.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №5. Найти .

Решение.
.

Пример №6. Найти .
Решение.Данное выражение представляет собой неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем его к другому виду:

Пример №7. Найти .

Решение. .

Пример №8. Найти .
Решение.Здесь неопределенность вида 0⁰. Обозначим y=x^x и прологарифмируем: lny = x·lnx, откуда в силу непрерывности логарифмической функции (пример 4). Итак, , откуда , т.е. .

Пример №9. Найти .
Решение.Имеем неопределенность 1^∞, которую можно было бы раскрыть с помощью второго замечательного предела, однако мы иллюстрируем другой прием. Обозначим , тогда

.

Пример №10. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли: .
Решение.
Функция f(x)=ln(x) дифференцируема на всей области определения, функция φ(x) = x³ дифференцируема для любого x из R, при x→∞; x³→∞. Имеем неопределенность . Применяем правило Лопиталя–Бернулли:

.

Пример №11. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли:
. Решение. Логарифмируем функцию , получим: .
Функции ln(x) и ln(e^x-1) дифференцируемы на (0;+∞). Применяем правило Лопиталя–Бернулли для неопределенности :

.

Пример №12. Вычислите предел, применяя правило Лопиталя.

Решение. Для нашего примера:

Для нашего примера:
f(x) = π-2arctg(x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную

g'(x) = -1/x²

f’(x) = 2x
g’(x) = 2x

Ответ: 2

Пример №13. Используя правило Лопиталя, найдите пределы функции.

Решение. Записываем как:

Для нашего примера:
f(x) = sin(1/x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную
f'(x) = -(cos(1/x))/x²
g'(x) = -1/x²

Упростим:

Пример №14. Раскрыть неопределённости по правилам Лопиталя:
Представим в виде:
Тогда можно записать как:

Пример №15. Найти данный предел, используя правило Лопиталя.

Решение.

Для нашего примера:
f(x) = ln(1-2x)
g(x) = x
Находим первую производную

Пример №15.
Для нашего примера:
f(x) = e^2x-1
g(x) = sin(x)
Находим первую производную
f'(x) = 2e^2x
g'(x) = cos(x)

Перейти к онлайн решению своей задачи