Упорядоченная пара (X,Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2...,n, j=1,2..,m

X  /  Y	6.7	14	26	
0.1	0.15	0.06	0.01	
0.2	0.1	0.25	0.03	
0.3	0.02	0.08	0.03	

События (X=xi, Y=yj) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей pij(i=1,2...,n, j=1,2..,m), указанных в таблице, равна 1.
1. Зависимость случайных величин X и Y.
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.

X	0.1	0.2	0.3	 	
P	0.22	0.38	0.13	∑Pi = 0.73	

Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0.1*0.22 + 0.2*0.38 + 0.3*0.13  = 0.14
Дисперсия D[X].
D[X] = 0.12*0.22 + 0.22*0.38 + 0.32*0.13  - 0.142 = 0.0103
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.

Y	6.7	14	26	 	
P	0.27	0.39	0.07	∑Pi = 0.73	

Математическое ожидание M[Y].
M[y] = 6.7*0.27 + 14*0.39 + 26*0.07  = 9.09
Дисперсия D[Y].
D[Y] = 6.72*0.27 + 142*0.39 + 262*0.07  - 9.092 = 53.27
Среднее квадратическое отклонение σ(y).

Поскольку, P(X=0.1,Y=6.7) = 0.15≠0.22•0.27, то случайные величины X и Y зависимы.
2. Условный закон распределения X.
Условный закон распределения X(Y=6.7).
P(X=0.1/Y=6.7) = 0.15/0.27 = 0.56
P(X=0.2/Y=6.7) = 0.1/0.27 = 0.37
P(X=0.3/Y=6.7) = 0.02/0.27 = 0.0741
Условное математическое ожидание M[X/Y=6.7).
M[X/Y=y] = 0.1*0.56 + 0.2*0.37 + 0.3*0.0741  = 0.15
Условная дисперсия D[X/Y=6.7).
D[X/Y=y] = 0.12*0.56 + 0.22*0.37 + 0.32*0.0741  - 0.152 = 0.00397804
Условный закон распределения X(Y=14).
P(X=0.1/Y=14) = 0.06/0.39 = 0.15
P(X=0.2/Y=14) = 0.25/0.39 = 0.64
P(X=0.3/Y=14) = 0.08/0.39 = 0.21
Условное математическое ожидание M[X/Y=14).
M[X/Y=y] = 0.1*0.15 + 0.2*0.64 + 0.3*0.21  = 0.21
Условная дисперсия D[X/Y=14).
D[X/Y=y] = 0.12*0.15 + 0.22*0.64 + 0.32*0.21  - 0.212 = 0.00356344
Условный закон распределения X(Y=26).
P(X=0.1/Y=26) = 0.01/0.07 = 0.14
P(X=0.2/Y=26) = 0.03/0.07 = 0.43
P(X=0.3/Y=26) = 0.03/0.07 = 0.43
Условное математическое ожидание M[X/Y=26).
M[X/Y=y] = 0.1*0.14 + 0.2*0.43 + 0.3*0.43  = 0.23
Условная дисперсия D[X/Y=26).
D[X/Y=y] = 0.12*0.14 + 0.22*0.43 + 0.32*0.43  - 0.232 = 0.00489796
3. Условный закон распределения Y.
Условный закон распределения Y(X=0.1).
P(Y=6.7/X=0.1) = 0.15/0.22 = 0.68
P(Y=14/X=0.1) = 0.06/0.22 = 0.27
P(Y=26/X=0.1) = 0.01/0.22 = 0.0455
Условное математическое ожидание M[Y/X=0.1).
M[Y/X=x] = 6.7*0.68 + 14*0.27 + 26*0.0455  = 9.57
Условная дисперсия D[Y/X=0.1).
D[Y/X=x] = 6.72*0.68 + 142*0.27 + 262*0.0455  - 9.572 = 23.24
Условный закон распределения Y(X=0.2).
P(Y=6.7/X=0.2) = 0.1/0.38 = 0.26
P(Y=14/X=0.2) = 0.25/0.38 = 0.66
P(Y=26/X=0.2) = 0.03/0.38 = 0.0789
Условное математическое ожидание M[Y/X=0.2).
M[Y/X=x] = 6.7*0.26 + 14*0.66 + 26*0.0789  = 13.03
Условная дисперсия D[Y/X=0.2).
D[Y/X=x] = 6.72*0.26 + 142*0.66 + 262*0.0789  - 13.032 = 24.44
Условный закон распределения Y(X=0.3).
P(Y=6.7/X=0.3) = 0.02/0.13 = 0.15
P(Y=14/X=0.3) = 0.08/0.13 = 0.62
P(Y=26/X=0.3) = 0.03/0.13 = 0.23
Условное математическое ожидание M[Y/X=0.3).
M[Y/X=x] = 6.7*0.15 + 14*0.62 + 26*0.23  = 15.65
Условная дисперсия D[Y/X=0.3).
D[Y/X=x] = 6.72*0.15 + 142*0.62 + 262*0.23  - 15.652 = 38.72
Ковариация.
cov(X,Y) = M[X•Y] - M[X]•M[Y]
cov(X,Y) = 6.7•0.1•0.15 + 14•0.1•0.06 + 26•0.1•0.01 + 6.7•0.2•0.1 + 14•0.2•0.25 + 26•0.2•0.03 + 6.7•0.3•0.02 + 14•0.3•0.08 + 26•0.3•0.03 - 0.14 • 9.09 = 0.57
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции.

Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α= и степенями свободы k=-m-1 = -2 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (-2;0) = 0
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим.
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:

 = (6.7(0.15 + 0.1 + 0.02) + 14(0.06 + 0.25 + 0.08) + 26(0.01 + 0.03 + 0.03))/0.73 = 12.45

 = (6.7(0.15 + 0.1 + 0.02) + 14(0.06 + 0.25 + 0.08) + 26(0.01 + 0.03 + 0.03))/0.73 = 0.19
Дисперсии:
σ2x = (6.72(0.15 + 0.1 + 0.02) + 142(0.06 + 0.25 + 0.08) + 262(0.01 + 0.03 + 0.03))/0.73 - 12.452 = 31.12
σ2y = (0.12(0.15 + 0.06 + 0.01) + 0.22(0.1 + 0.25 + 0.03) + 0.32(0.02 + 0.08 + 0.03))/0.73 - 0.192 = 0.00464
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 5.58 и σy = 0.0681
и ковариация:
Cov(x,y) = (6.7•0.1•0.15 + 14•0.1•0.06 + 26•0.1•0.01 + 6.7•0.2•0.1 + 14•0.2•0.25 + 26•0.2•0.03 + 6.7•0.3•0.02 + 14•0.3•0.08 + 26•0.3•0.03)/0.73 - 12.45 • 0.19 = 0.14
Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

и вычисляя, получаем:
yx = 0.0046 x + 0.13
Запишем уравнения линий регрессии x(y):

и вычисляя, получаем:
xy = 30.97 y + 6.64
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (12.45; 0.19) и точки расположены близко к линиям регрессии.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Система случайных величин
С этой задачей также решают:
Уравнение парной линейной регрессии
Copyright © Semestr.RU