Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 + r + 0 = 0
D = 12 - 4 • 1 • 0 = 1

Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = -1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0x
y2 = e-x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x2+1
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x2+1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = x(3•A•x+2•B)+C
y'' = 2(3•A•x+B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + y' = (2(3•A•x+B)) + (x(3•A•x+2•B)+C) = x2+1
 или 
3•A•x2+6•A•x+2•B•x+2•B+C = x2+1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
3A  = 1
6A + 2B  = 0
0A + 2B + 1C  = 1
Решая ее, находим:
A = 1/3;B = -1;C = 3;
Частное решение имеет вид:
y* = x (1/3x2 -x + 3)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения