Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 +4 r + 20 = 0
D = 42 - 4 • 1 • 20 = -64

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = -2 + 4i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 34•e-x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 34, Q(x) = 0, α = -1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -1 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = -A•e-x
y'' = A•e-x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 4y' + 20y = (A•e-x) + 4(-A•e-x) + 20(Ae-x) = 34•e-x
 или 
17•A•e-x = 34•e-x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
17A  = 34
Решая ее, находим:
A = 2;
Частное решение имеет вид:
y* = 2e-x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения