Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде  y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
 r2 -2 r + 0 = 0
D = (-2)2 - 4 • 1 • 0 = 4

Корни характеристического уравнения:
r1 = 2
r2 = 0
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x
y2 = e0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x3+2•x-1
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x3+2•x-1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = x(x(4•A•x+3•B)+2•C)+D
y'' = 2(3•x(2•A•x+B)+C)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
1y'' -2y' = 1(2(3•x(2•A•x+B)+C)) -2(x(x(4•A•x+3•B)+2•C)+D) = x3+2•x-1
 или 
-8•A•x3+12•A•x2-6•B•x2+6•B•x-4•C•x+2•C-2•D = x3+2•x-1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-8A  = 1
12A -6B  = 0
0A + 6B -4C  = 2
0A + 2C  = -1
Решая ее, находим:
A = -1/8;B = -1/4;C = -7/8;D = -3/8;
Частное решение имеет вид:
y* = x (-1/8x3 -1/4x2 -7/8x -3/8)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения