Найдем корни уравнения: 
 x3+6•x2+9•x+1 = 0 
 Используем для этого Метод хорд. 
 Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a,b], в предположении, что f(a)f(b)<0. 
 Уравнение хорды: 

 В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня 

 Проверяем условия: 
 1. f(x1)f(b)<0, 
 2. f(x1)f(a)<0. 
 Если выполняется условие (1), то в формуле точку a заменяем на x1, получим: 

 Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения: 

 Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку b заменяем на x1), получим: 

 Продолжая процесс, придем к формуле: 

 Останов процесса: 
 |xn – xn-1|< ε, ξ = xn. 
 Находим первую производную: 
 dF/dx = 3•(x2+4•x+3) 
 Находим вторую производную: 
 d2F/dx2 = 6•(x+2) 
 Решение. 
 Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-4;0] разобьем на 10 подынтервалов. 
 h1 = -4 + 1*(0-(-4))/10 = -3.6 
 h2 = -4 + (1+1)*(0-(-4))/10 = -3.2 
 Поскольку F(-3.6)*F(-3.2)<0, то корень лежит в пределах [-3.6;-3.2]. 
 Вычисляем значения функций в точке a = -3.6 
 f(-3.6) = -0.296 
 f ''(-3.6) = -9.6 
 Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -3.6 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	x	F(x)	h = F(x)*(x-a)/(f(x)-f(a))	
1	-3.2	0.872	-3.4986	
2	-3.4986	0.1301	-3.5296	
3	-3.5296	0.01009	-3.5319	
4	-3.5319	0.000737	-3.5321	
5	-3.5321	5.4E-5	-3.5321	

 Ответ: x = -3.532-(-3.532) = -3.53207563; F(x) = 5.4E-5 
 Параметр сходимости. 

 h4 = -4 + 4*(0-(-4))/10 = -2.4 
 h5 = -4 + (4+1)*(0-(-4))/10 = -2 
 Поскольку F(-2.4)*F(-2)<0, то корень лежит в пределах [-2.4;-2]. 
 Вычисляем значения функций в точке a = -2.4 
 f(-2.4) = 0.136 
 f ''(-2.4) = -2.4 
 Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -2 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	-2.4	0.136	-0.04789	
2	-2.3521	0.01268	-0.00441	
3	-2.3477	0.00107	-0.000373	
4	-2.3473	9.0E-5	0	

 Ответ: x = -2.347-(0) = -2.34733048; F(x) = 9.0E-5 
 Параметр сходимости. 

 h9 = -4 + 9*(0-(-4))/10 = -0.4 
 h10 = -4 + (9+1)*(0-(-4))/10 = 0 
 Поскольку F(-0.4)*F(0)<0, то корень лежит в пределах [-0.4;0]. 
 Вычисляем значения функций в точке a = -0.4 
 f(-0.4) = -1.704 
 f ''(-0.4) = 9.6 
 Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 0 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	x	F(x)	h = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))	
1	-0.4	-1.704	-0.2521	
2	-0.1479	-0.2033	-0.02499	
3	-0.1229	-0.0176	-0.00213	
4	-0.1208	-0.00148	-0.000178	
5	-0.1206	-0.000124	-1.5E-5	
6	-0.1206	-1.0E-5	0	

 Ответ: x = -0.121-(0) = -0.12061613; F(x) = -1.0E-5 
 Параметр сходимости. 

 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
 Метод Ньютона онлайн 
 Источник: 
 Приближенное нахождение корней уравнения 
 Copyright © Semestr.RU