Найдем корни уравнения: 
 x3+6•x2+9•x+1 = 0 
 Используем для этого Метод Ньютона. 
 Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим: 
 xn = xn-1 + hn-1 
 Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим: 
 f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0 
 Отсюда следует: 

 Подставим hn-1 в формулу, получим: 

 Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. 
 Находим первую производную: 
 dF/dx = 3•(x2+4•x+3) 
 Находим вторую производную: 
 d2F/dx2 = 6•(x+2) 
 Решение. 
 Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-4;0] разобьем на 10 подынтервалов. 
 h1 = -4 + 1*(0-(-4))/10 = -3.6 
 h2 = -4 + (1+1)*(0-(-4))/10 = -3.2 
 Поскольку F(-3.6)*F(-3.2)<0, то корень лежит в пределах [-3.6;-3.2]. 
 Вычисляем значения функций в точке a = -3.6. 
 f(-3.6) = -0.296 
 f ''(-3.6) = -9.6 
 Поскольку f(a)•f ''(a) > 0, то x0 = a = -3.6 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-3.6	-0.296	4.68	-0.06325	
2	-3.5368	-0.01895	4.0848	-0.00464	
3	-3.5321	-9.9E-5	4.0421	0	

 Ответ: x = -3.532 - (-9.9E-5) / 4.042 = -3.53211340; F(x) = -9.9E-5 
 h4 = -4 + 4*(0-(-4))/10 = -2.4 
 h5 = -4 + (4+1)*(0-(-4))/10 = -2 
 Поскольку F(-2.4)*F(-2)<0, то корень лежит в пределах [-2.4;-2]. 
 Вычисляем значения функций в точке a = -2.4. 
 f(-2.4) = 0.136 
 f ''(-2.4) = -2.4 
 Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = -2 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	-2	-1	-3	0.3333	
2	-2.3333	-0.03704	-2.6667	0.01389	
3	-2.3472	-0.000196	-2.6383	7.4E-5	
4	-2.3473	0	-2.6382	0	

 Ответ: x = -2.347 - 0 / (-2.638) = -2.34729636; F(x) = 0 
 h9 = -4 + 9*(0-(-4))/10 = -0.4 
 h10 = -4 + (9+1)*(0-(-4))/10 = 0 
 Поскольку F(-0.4)*F(0)<0, то корень лежит в пределах [-0.4;0]. 
 Вычисляем значения функций в точке a = -0.4. 
 f(-0.4) = -1.704 
 f ''(-0.4) = 9.6 
 Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 0 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f '(x)	
1	0	1	9	0.1111	
2	-0.1111	0.0727	7.7037	0.00944	
3	-0.1205	0.000504	7.597	6.6E-5	
4	-0.1206	0	7.5963	0	

 Ответ: x = -0.121 - 0 / 7.596 = -0.12061475; F(x) = 0 
  
 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
 Метод Ньютона онлайн 
 Источник: 
 Приближенное нахождение корней уравнения 
 Copyright © Semestr.RU