Найдем корни уравнения: 
 x3+6•x2+9•x+1 = 0 
 Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).. 
 Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε. 
 Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем. 
 Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия: 
 1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность. 
 2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c]. 
 3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b]. 
 Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ. 
 Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен: 
 bn-an=1/2n(b-a) 
 В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие: 
 (bn – an)/2 < ε 
 то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn). 
 Решение. 
 Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-4;0] разобьем на 10 подынтервалов. 
 h1 = -4 + 1*(0-(-4))/10 = -3.6 
 h2 = -4 + (1+1)*(0-(-4))/10 = -3.2 
 Поскольку F(-3.6)*F(-3.2)<0, то корень лежит в пределах [-3.6;-3.2]. 
 Итерация 1. 
 Находим середину отрезка: c = (-3.6 -3.2)/2 = -3.4 
 F(x) = 0.456 
 F(c) = -0.296 
 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.4 
 Итерация 2. 
 Находим середину отрезка: c = (-3.6 -3.4)/2 = -3.5 
 F(x) = 0.125 
 F(c) = 0.456 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.5 
 Итерация 3. 
 Находим середину отрезка: c = (-3.5 -3.4)/2 = -3.45 
 F(x) = 0.301 
 F(c) = 0.125 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.45 
 Итерация 4. 
 Находим середину отрезка: c = (-3.45 -3.4)/2 = -3.425 
 F(x) = 0.381 
 F(c) = 0.301 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.425 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-3.6	-3.2	-3.4	-0.296	0.456	
2	-3.6	-3.4	-3.5	0.456	0.125	
3	-3.5	-3.4	-3.45	0.125	0.3014	
4	-3.45	-3.4	-3.425	0.3014	0.3814	
5	-3.425	-3.4	-3.4125	0.3814	0.4193	
6	-3.4125	-3.4	-3.4063	0.4193	0.4378	
7	-3.4063	-3.4	-3.4031	0.4378	0.447	
8	-3.4031	-3.4	-3.4016	0.447	0.4515	
9	-3.4016	-3.4	-3.4008	0.4515	0.4537	
10	-3.4008	-3.4	-3.4004	0.4537	0.4549	
11	-3.4004	-3.4	-3.4002	0.4549	0.4554	
12	-3.4002	-3.4	-3.4001	0.4554	0.4557	
13	-3.4001	-3.4	-3.4	0.4557	0.4559	
14	-3.4	-3.4	-3.4	0.4559	0.4559	
15	-3.4	-3.4	-3.4	0.4559	0.456	
16	-3.4	-3.4	-3.4	0.456	0.456	
17	-3.4	-3.4	-3.4	0.456	0.456	
18	-3.4	-3.4	-3.4	0.456	0.456	
19	-3.4	-3.4	-3.4	0.456	0.456	

 Ответ: 
 x = -3.4; F(x) = 0.456 
 Количество итераций, N = 19 
 Параметр сходимости. 

 h4 = -4 + 4*(0-(-4))/10 = -2.4 
 h5 = -4 + (4+1)*(0-(-4))/10 = -2 
 Поскольку F(-2.4)*F(-2)<0, то корень лежит в пределах [-2.4;-2]. 
 Итерация 1. 
 Находим середину отрезка: c = (-2.4 -2)/2 = -2.2 
 F(x) = -0.408 
 F(c) = 0.136 
 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-2.2 
 Итерация 2. 
 Находим середину отрезка: c = (-2.4 -2.2)/2 = -2.3 
 F(x) = -0.127 
 F(c) = -0.408 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.3 
 Итерация 3. 
 Находим середину отрезка: c = (-2.3 -2.2)/2 = -2.25 
 F(x) = -0.266 
 F(c) = -0.127 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.25 
 Итерация 4. 
 Находим середину отрезка: c = (-2.25 -2.2)/2 = -2.225 
 F(x) = -0.336 
 F(c) = -0.266 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-2.225 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-2.4	-2	-2.2	0.136	-0.408	
2	-2.4	-2.2	-2.3	-0.408	-0.127	
3	-2.3	-2.2	-2.25	-0.127	-0.2656	
4	-2.25	-2.2	-2.225	-0.2656	-0.3364	
5	-2.225	-2.2	-2.2125	-0.3364	-0.3721	
6	-2.2125	-2.2	-2.2063	-0.3721	-0.39	
7	-2.2063	-2.2	-2.2031	-0.39	-0.399	
8	-2.2031	-2.2	-2.2016	-0.399	-0.4035	
9	-2.2016	-2.2	-2.2008	-0.4035	-0.4058	
10	-2.2008	-2.2	-2.2004	-0.4058	-0.4069	
11	-2.2004	-2.2	-2.2002	-0.4069	-0.4074	
12	-2.2002	-2.2	-2.2001	-0.4074	-0.4077	
13	-2.2001	-2.2	-2.2	-0.4077	-0.4079	
14	-2.2	-2.2	-2.2	-0.4079	-0.4079	
15	-2.2	-2.2	-2.2	-0.4079	-0.408	
16	-2.2	-2.2	-2.2	-0.408	-0.408	
17	-2.2	-2.2	-2.2	-0.408	-0.408	
18	-2.2	-2.2	-2.2	-0.408	-0.408	
19	-2.2	-2.2	-2.2	-0.408	-0.408	

 Ответ: 
 x = -2.2; F(x) = -0.408 
 Количество итераций, N = 19 
 Параметр сходимости. 

 h9 = -4 + 9*(0-(-4))/10 = -0.4 
 h10 = -4 + (9+1)*(0-(-4))/10 = 0 
 Поскольку F(-0.4)*F(0)<0, то корень лежит в пределах [-0.4;0]. 
 Итерация 1. 
 Находим середину отрезка: c = (-0.4 + 0)/2 = -0.2 
 F(x) = -0.568 
 F(c) = -1.704 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-0.2 
 Итерация 2. 
 Находим середину отрезка: c = (-0.2 + 0)/2 = -0.1 
 F(x) = 0.159 
 F(c) = -0.568 
 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-0.1 
 Итерация 3. 
 Находим середину отрезка: c = (-0.2 -0.1)/2 = -0.15 
 F(x) = -0.218 
 F(c) = 0.159 
 Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-0.15 
 Итерация 4. 
 Находим середину отрезка: c = (-0.2 -0.15)/2 = -0.175 
 F(x) = -0.397 
 F(c) = -0.218 
 Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-0.175 
 Остальные расчеты сведем в таблицу. 

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-0.4	0	-0.2	-1.704	-0.568	
2	-0.2	0	-0.1	-0.568	0.159	
3	-0.2	-0.1	-0.15	0.159	-0.2184	
4	-0.2	-0.15	-0.175	-0.2184	-0.3966	
5	-0.175	-0.15	-0.1625	-0.3966	-0.3084	
6	-0.1625	-0.15	-0.1563	-0.3084	-0.2636	
7	-0.1563	-0.15	-0.1531	-0.2636	-0.241	
8	-0.1531	-0.15	-0.1516	-0.241	-0.2297	
9	-0.1516	-0.15	-0.1508	-0.2297	-0.224	
10	-0.1508	-0.15	-0.1504	-0.224	-0.2212	
11	-0.1504	-0.15	-0.1502	-0.2212	-0.2198	
12	-0.1502	-0.15	-0.1501	-0.2198	-0.2191	
13	-0.1501	-0.15	-0.15	-0.2191	-0.2187	
14	-0.15	-0.15	-0.15	-0.2187	-0.2186	
15	-0.15	-0.15	-0.15	-0.2186	-0.2185	
16	-0.15	-0.15	-0.15	-0.2185	-0.2184	
17	-0.15	-0.15	-0.15	-0.2184	-0.2184	
18	-0.15	-0.15	-0.15	-0.2184	-0.2184	
19	-0.15	-0.15	-0.15	-0.2184	-0.2184	

 Ответ: 
 x = -0.15; F(x) = -0.2184 
 Количество итераций, N = 19 
 Параметр сходимости. 

 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
 Метод Ньютона онлайн 
 Источник: 
 Приближенное нахождение корней уравнения 
 Copyright © Semestr.RU