Найдем корни уравнения:
x3-10•x+5 = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-4;-2].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-4 + -2)/2 = -3
F(c) = 8
F(x) = -19
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-4 + -3)/2 = -3.5
F(c) = -2.875
F(x) = -19
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-3.5 + -3)/2 = -3.25
F(c) = 3.1719
F(x) = -2.875
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-3.5 + -3.25)/2 = -3.375
F(c) = 0.3066
F(x) = -2.875
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.375
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-3	-4	-2	-19	8	
2	-3.5	-4	-3	-2.875	-2.875	
3	-3.25	-3.5	-3	-2.875	3.172	
4	-3.375	-3.5	-3.25	-2.875	0.307	
5	-3.438	-3.5	-3.375	-1.244	-1.244	
6	-3.406	-3.438	-3.375	-0.459	-0.459	
7	-3.391	-3.406	-3.375	-0.0735	-0.0735	
8	-3.383	-3.391	-3.375	-0.0735	0.117	
9	-3.387	-3.391	-3.383	-0.0735	0.022	
10	-3.389	-3.391	-3.387	-0.0257	-0.0257	
11	-3.388	-3.389	-3.387	-0.0019	-0.0019	

Ответ:
x = -3.388; F(x) = -0.0019
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [0;2].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (0 + 2)/2 = 1
F(c) = -4
F(x) = 5
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=1
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (0 + 1)/2 = 0.5
F(c) = 0.125
F(x) = 5
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=0.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (0.5 + 1)/2 = 0.75
F(c) = -2.0781
F(x) = 0.125
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=0.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (0.5 + 0.75)/2 = 0.625
F(c) = -1.0059
F(x) = 0.125
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=0.625
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	1	0	2	5	-4	
2	0.5	0	1	0.125	0.125	
3	0.75	0.5	1	0.125	-2.078	
4	0.625	0.5	0.75	0.125	-1.006	
5	0.563	0.5	0.625	0.125	-0.447	
6	0.531	0.5	0.563	0.125	-0.163	
7	0.516	0.5	0.531	0.125	-0.0192	
8	0.508	0.5	0.516	0.0528	0.0528	
9	0.512	0.508	0.516	0.0168	0.0168	
10	0.514	0.512	0.516	0.0168	-0.0012	
11	0.513	0.512	0.514	0.0078	0.0078	

Ответ:
x = 0.513; F(x) = 0.0078
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [2;4].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (2 + 4)/2 = 3
F(c) = 2
F(x) = -7
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=3
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (2 + 3)/2 = 2.5
F(c) = -4.375
F(x) = -7
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=2.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (2.5 + 3)/2 = 2.75
F(c) = -1.7031
F(x) = -4.375
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=2.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (2.75 + 3)/2 = 2.875
F(c) = 0.0137
F(x) = -1.7031
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=2.875
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	3	2	4	-7	2	
2	2.5	2	3	-4.375	-4.375	
3	2.75	2.5	3	-1.703	-1.703	
4	2.875	2.75	3	-1.703	0.0137	
5	2.813	2.75	2.875	-0.878	-0.878	
6	2.844	2.813	2.875	-0.44	-0.44	
7	2.859	2.844	2.875	-0.215	-0.215	
8	2.867	2.859	2.875	-0.101	-0.101	
9	2.871	2.867	2.875	-0.044	-0.044	
10	2.873	2.871	2.875	-0.0152	-0.0152	
11	2.874	2.873	2.875	-0.0008	-0.0008	

Ответ:
x = 2.874; F(x) = -0.0008
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения