Найдем корни уравнения:
sin(x)/cos(x)-x/4 = 0
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Исходный интервал: [-10; 10].
Корень лежит в пределах [-10;-8].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-10 -8)/2 = -9
F(c) = 0.4523
F(x) = -0.6484
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-9
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-10 -9)/2 = -9.5
F(c) = -0.0754
F(x) = -0.6484
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-9.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-9.5 -9)/2 = -9.25
F(c) = 0.1766
F(x) = -0.0754
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-9.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-9.5 -9.25)/2 = -9.375
F(c) = 0.0498
F(x) = -0.0754
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-9.375
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-9	-10	-8	-0.648	0.452	
2	-9.5	-10	-9	-0.0754	-0.0754	
3	-9.25	-9.5	-9	-0.0754	0.177	
4	-9.375	-9.5	-9.25	-0.0754	0.0498	
5	-9.438	-9.5	-9.375	-0.0127	-0.0127	
6	-9.406	-9.438	-9.375	-0.0127	0.0185	
7	-9.422	-9.438	-9.406	-0.0127	0.0029	
8	-9.43	-9.438	-9.422	-0.0049	-0.0049	
9	-9.426	-9.43	-9.422	-0.001	-0.001	
10	-9.424	-9.426	-9.422	-0.001	0.0009	
11	-9.425	-9.426	-9.424	-0.001	0	

Ответ:
x = -9.425; F(x) = 0
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [-6;-4].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-6 -4)/2 = -5
F(c) = 3.3805
F(x) = 0.291
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-5
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-5 -4)/2 = -4.5
F(c) = -4.6373
F(x) = 3.3805
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-4.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-5 -4.5)/2 = -4.75
F(c) = 26.5754
F(x) = 3.3805
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-4.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-4.75 -4.5)/2 = -4.625
F(c) = -11.4139
F(x) = 26.5754
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-4.625
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-5	-6	-4	3.381	3.381	
2	-4.5	-5	-4	3.381	-4.637	
3	-4.75	-5	-4.5	26.575	26.575	
4	-4.625	-4.75	-4.5	26.575	-11.414	
5	-4.688	-4.75	-4.625	26.575	-40.17	
6	-4.719	-4.75	-4.688	157.205	157.205	
7	-4.703	-4.719	-4.688	157.205	-107.942	
8	-4.711	-4.719	-4.703	157.205	-688.951	
9	-4.715	-4.719	-4.711	407.369	407.369	
10	-4.713	-4.715	-4.711	1993.443	1993.443	
11	-4.712	-4.713	-4.711	1993.443	-2105.627	

Ответ:
x = -4.712; F(x) = -2105.627
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [-4;-2].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (-4 -2)/2 = -3
F(c) = 0.1425
F(x) = -1.1578
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-4 -3)/2 = -3.5
F(c) = -0.3746
F(x) = -1.1578
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-3.5 -3)/2 = -3.25
F(c) = -0.1088
F(x) = -0.3746
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-3.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (-3.25 -3)/2 = -3.125
F(c) = 0.0166
F(x) = -0.1088
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=-3.125
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	-3	-4	-2	-1.158	0.143	
2	-3.5	-4	-3	-0.375	-0.375	
3	-3.25	-3.5	-3	-0.109	-0.109	
4	-3.125	-3.25	-3	-0.109	0.0166	
5	-3.188	-3.25	-3.125	-0.0459	-0.0459	
6	-3.156	-3.188	-3.125	-0.0147	-0.0147	
7	-3.141	-3.156	-3.125	-0.0147	0.001	
8	-3.148	-3.156	-3.141	-0.0068	-0.0068	
9	-3.145	-3.148	-3.141	-0.0029	-0.0029	
10	-3.143	-3.145	-3.141	-0.001	-0.001	
11	-3.142	-3.143	-3.141	-0.001	0	

Ответ:
x = -3.142; F(x) = 0
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [2;4].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (2 + 4)/2 = 3
F(c) = -0.1425
F(x) = -2.185
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=3
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (3 + 4)/2 = 3.5
F(c) = 0.3746
F(x) = -0.1425
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=3.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (3 + 3.5)/2 = 3.25
F(c) = 0.1088
F(x) = -0.1425
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=3.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (3 + 3.25)/2 = 3.125
F(c) = -0.0166
F(x) = -0.1425
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=3.125
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	3	2	4	-0.143	-0.143	
2	3.5	3	4	-0.143	0.375	
3	3.25	3	3.5	-0.143	0.109	
4	3.125	3	3.25	-0.0166	-0.0166	
5	3.188	3.125	3.25	-0.0166	0.0459	
6	3.156	3.125	3.188	-0.0166	0.0147	
7	3.141	3.125	3.156	-0.001	-0.001	
8	3.148	3.141	3.156	-0.001	0.0068	
9	3.145	3.141	3.148	-0.001	0.0029	
10	3.143	3.141	3.145	-0.001	0.001	
11	3.142	3.141	3.143	-0.001	0	

Ответ:
x = 3.142; F(x) = 0
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [4;6].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (4 + 6)/2 = 5
F(c) = -3.3805
F(x) = 1.1578
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=5
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (4 + 5)/2 = 4.5
F(c) = 4.6373
F(x) = 1.1578
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=4.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (4.5 + 5)/2 = 4.75
F(c) = -26.5754
F(x) = 4.6373
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=4.75
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (4.5 + 4.75)/2 = 4.625
F(c) = 11.4139
F(x) = 4.6373
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=4.625
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	5	4	6	1.158	-3.381	
2	4.5	4	5	4.637	4.637	
3	4.75	4.5	5	4.637	-26.575	
4	4.625	4.5	4.75	11.414	11.414	
5	4.688	4.625	4.75	40.17	40.17	
6	4.719	4.688	4.75	40.17	-157.205	
7	4.703	4.688	4.719	107.942	107.942	
8	4.711	4.703	4.719	688.951	688.951	
9	4.715	4.711	4.719	688.951	-407.369	
10	4.713	4.711	4.715	688.951	-1993.443	
11	4.712	4.711	4.713	2105.627	2105.627	

Ответ:
x = 4.712; F(x) = 2105.627
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Корень лежит в пределах [8;10].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (8 + 10)/2 = 9
F(c) = -0.4523
F(x) = -6.7997
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=9
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (9 + 10)/2 = 9.5
F(c) = 0.0754
F(x) = -0.4523
Поскольку F(c)•F(x) < 0, то b=9.5
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (9 + 9.5)/2 = 9.25
F(c) = -0.1766
F(x) = -0.4523
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=9.25
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (9.25 + 9.5)/2 = 9.375
F(c) = -0.0498
F(x) = -0.1766
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=9.375
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)	
1	9	8	10	-0.452	-0.452	
2	9.5	9	10	-0.452	0.0754	
3	9.25	9	9.5	-0.177	-0.177	
4	9.375	9.25	9.5	-0.0498	-0.0498	
5	9.438	9.375	9.5	-0.0498	0.0127	
6	9.406	9.375	9.438	-0.0185	-0.0185	
7	9.422	9.406	9.438	-0.0029	-0.0029	
8	9.43	9.422	9.438	-0.0029	0.0049	
9	9.426	9.422	9.43	-0.0029	0.001	
10	9.424	9.422	9.426	-0.0009	-0.0009	
11	9.425	9.424	9.426	-0.0009	0	

Ответ:
x = 9.425; F(x) = 0
Количество итераций, N = 11
Параметр сходимости.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения