Найдем корни уравнения:
2•ln(x+7)-5•sin(x) = 0
Используем для этого Метод золотого сечения.
Точки деления интервала выбираются таким образом, чтобы отношение длин подынтервалов удовлетворяло соотношению:
d1/d2 = d2/d3 = 1.618
Скорость сходимости МЗС имеет порядок с коэффициентом 0.618.
Исходный интервал: [-5; 8].
Корень лежит в пределах [-3.7;-2.4].
h = -2.4 - -3.7 = 1.3
Итерация N1.
ha = 1.3 / 1.618 = 0.8035
hb = 0.8035 / 1.618 = 0.4966
F(a) = F(-3.7+0.4966) = 2.3592
F(b) = F(-3.7+0.8035) = 4.0367
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = -2.4 - 0.8035 = -3.2035
b = -2.4 - 0.4966 = -2.8966
h = 0.8035 - 0.4966 = 0.3069
Итерация N2.
ha = 0.3069 / 1.618 = 0.1897
hb = 0.1897 / 1.618 = 0.1172
F(a) = F(-3.2035+0.1172) = 3.0056
F(b) = F(-3.2035+0.1897) = 3.4029
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = -2.8966 - 0.1897 = -3.0862
b = -2.8966 - 0.1172 = -3.0138
h = 0.1897 - 0.1172 = 0.0724
Итерация N3.
ha = 0.0724 / 1.618 = 0.0448
hb = 0.0448 / 1.618 = 0.0277
F(a) = F(-3.0862+0.0277) = 3.1577
F(b) = F(-3.0862+0.0448) = 3.2515
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = -3.0138 - 0.0448 = -3.0586
b = -3.0138 - 0.0277 = -3.0415
h = 0.0448 - 0.0277 = 0.0171
Итерация N4.
ha = 0.0171 / 1.618 = 0.0106
hb = 0.0106 / 1.618 = 0.0065
F(a) = F(-3.0586+0.0065) = 3.1935
F(b) = F(-3.0586+0.0106) = 3.2157
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = -3.0415 - 0.0106 = -3.052
b = -3.0415 - 0.0065 = -3.048
h = 0.0106 - 0.0065 = 0.004
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	an	bn	F(an)	F(bn)	
1	-3.7	-2.4	2.359	4.037	
2	-3.203	-2.897	3.006	3.403	
3	-3.086	-3.014	3.158	3.252	
4	-3.059	-3.041	3.194	3.216	
5	-3.052	-3.048	3.202	3.207	

Находим x как середину интервала [a,b]:
x=(-3.05050115+-3.04954813)/2 = -3.05002464.
Параметр сходимости:

Ответ: x = -3.05002464; F(x) = 3.2046192
Корень лежит в пределах [0.2;1.5].
h = 1.5 - 0.2 = 1.3
Итерация N1.
ha = 1.3 / 1.618 = 0.8035
hb = 0.8035 / 1.618 = 0.4966
F(a) = F(0.2+0.4966) = 0.8736
F(b) = F(0.2+0.8035) = -0.0569
Поскольку F(a)*F(b) < 0, то a = 0.2 + 0.8035 = 1.0035
b = 0.2 + 0.4966 = 0.6966
h = 0.8035 - 0.4966 = 0.3069
Итерация N2.
ha = 0.3069 / 1.618 = 0.1897
hb = 0.1897 / 1.618 = 0.1172
F(a) = F(0.6966+0.1172) = 0.4773
F(b) = F(0.6966+0.1897) = 0.2567
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = 1.0035 - 0.1897 = 0.8138
b = 1.0035 - 0.1172 = 0.8862
h = 0.1897 - 0.1172 = 0.0724
Итерация N3.
ha = 0.0724 / 1.618 = 0.0448
hb = 0.0448 / 1.618 = 0.0277
F(a) = F(0.8138+0.0277) = 0.3908
F(b) = F(0.8138+0.0448) = 0.3387
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = 0.8862 - 0.0448 = 0.8415
b = 0.8862 - 0.0277 = 0.8586
h = 0.0448 - 0.0277 = 0.0171
Итерация N4.
ha = 0.0171 / 1.618 = 0.0106
hb = 0.0106 / 1.618 = 0.0065
F(a) = F(0.8415+0.0065) = 0.3707
F(b) = F(0.8415+0.0106) = 0.3584
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = 0.8586 - 0.0106 = 0.848
b = 0.8586 - 0.0065 = 0.852
h = 0.0106 - 0.0065 = 0.004
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	an	bn	F(an)	F(bn)	
1	0.2	1.5	0.874	-0.0569	
2	0.697	1.003	0.477	0.257	
3	0.814	0.886	0.391	0.339	
4	0.841	0.859	0.371	0.358	
5	0.848	0.852	0.366	0.363	

Находим x как середину интервала [a,b]:
x=(0.84953654+0.85048956)/2 = 0.85001305.
Параметр сходимости:

Ответ: x = 0.85001305; F(x) = 0.3645853
Корень лежит в пределах [1.5;2.8].
h = 2.8 - 1.5 = 1.3
Итерация N1.
ha = 1.3 / 1.618 = 0.8035
hb = 0.8035 / 1.618 = 0.4966
F(a) = F(1.5+0.4966) = -0.1599
F(b) = F(1.5+0.8035) = 0.7438
Поскольку F(a)*F(b) < 0, то a = 1.5 + 0.8035 = 2.3035
b = 1.5 + 0.4966 = 1.9966
h = 0.8035 - 0.4966 = 0.3069
Итерация N2.
ha = 0.3069 / 1.618 = 0.1897
hb = 0.1897 / 1.618 = 0.1172
F(a) = F(1.9966+0.1172) = 0.1388
F(b) = F(1.9966+0.1897) = 0.3528
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = 2.3035 - 0.1897 = 2.1138
b = 2.3035 - 0.1172 = 2.1862
h = 0.1897 - 0.1172 = 0.0724
Итерация N3.
ha = 0.0724 / 1.618 = 0.0448
hb = 0.0448 / 1.618 = 0.0277
F(a) = F(2.1138+0.0277) = 0.2179
F(b) = F(2.1138+0.0448) = 0.2685
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = 2.1862 - 0.0448 = 2.1415
b = 2.1862 - 0.0277 = 2.1586
h = 0.0448 - 0.0277 = 0.0171
Итерация N4.
ha = 0.0171 / 1.618 = 0.0106
hb = 0.0106 / 1.618 = 0.0065
F(a) = F(2.1415+0.0065) = 0.2371
F(b) = F(2.1415+0.0106) = 0.249
Поскольку F(a)*F(b) >= 0, то b = 2.1586 - 0.0106 = 2.148
b = 2.1586 - 0.0065 = 2.152
h = 0.0106 - 0.0065 = 0.004
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	an	bn	F(an)	F(bn)	
1	1.5	2.8	-0.16	0.744	
2	1.997	2.303	0.139	0.353	
3	2.114	2.186	0.218	0.268	
4	2.141	2.159	0.237	0.249	
5	2.148	2.152	0.242	0.244	

Находим x как середину интервала [a,b]:
x=(2.14953654+2.15048956)/2 = 2.15001305.
Параметр сходимости:

Ответ: x = 2.15001305; F(x) = 0.24305238

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Ньютона онлайн
Источник:
Приближенное нахождение корней уравнения