Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 7x1 + 4x2 - 6x3 при следующих условиях-ограничений.
2x1 - 5x2 + 9x3≥1
8x1 + 3x2 + 5x3=2
x1 + x3≥4
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x4 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. 
2x1-5x2 + 9x3-1x4 + 0x5 = 1
8x1 + 3x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5 = 2
1x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4-1x5 = 4
Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x6; в 2-м равенстве вводим переменную x7; в 3-м равенстве вводим переменную x8; 
2x1-5x2 + 9x3-1x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 1
8x1 + 3x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 = 2
1x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 = 4
Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так:
F(X) = 7x1+4x2-6x3+Mx6+Mx7+Mx8 → min
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
 x6 = 1-2x1+5x2-9x3+x4
 x7 = 2-8x1-3x2-5x3
 x8 = 4-x1-x3+x5
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = (7-11M)x1+(4+2M)x2+(-6-15M)x3+(1M)x4+(1M)x5+(7M) → min
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
2	-5	9	-1	0	1	0	0	
8	3	5	0	0	0	1	0	
1	0	1	0	-1	0	0	1	

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x6, x7, x8,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,0,1,2,4)
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x6	1	2	-5	9	-1	0	1	0	0	
x7	2	8	3	5	0	0	0	1	0	
x8	4	1	0	1	0	-1	0	0	1	
F(X0)	7M	-7+11M	-4-2M	6+15M	-1M	-1M	0	0	0	

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (1 : 9 , 2 : 5 , 4 : 1 ) = 1/9
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (9) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x6	1	2	-5	9	-1	0	1	0	0	1/9	
x7	2	8	3	5	0	0	0	1	0	2/5	
x8	4	1	0	1	0	-1	0	0	1	4	
F(X1)	7M	-7+11M	-4-2M	6+15M	-1M	-1M	0	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x3	1/9	2/9	-5/9	1	-1/9	0	1/9	0	0	
x7	14/9	68/9	57/9	0	5/9	0	-5/9	1	0	
x8	38/9	7/9	5/9	0	1/9	-1	-1/9	0	1	
F(X1)	-2/3+51/3M	-81/3+72/3M	-2/3+61/3M	0	2/3+2/3M	-1M	-2/3-12/3M	0	0	

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (1/9 : 2/9 , 14/9 : 68/9 , 38/9 : 7/9 ) = 13/62
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (68/9) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x3	1/9	2/9	-5/9	1	-1/9	0	1/9	0	0	1/2	
x7	14/9	68/9	57/9	0	5/9	0	-5/9	1	0	13/62	
x8	38/9	7/9	5/9	0	1/9	-1	-1/9	0	1	5	
F(X2)	-2/3+51/3M	-81/3+72/3M	-2/3+61/3M	0	2/3+2/3M	-1M	-2/3-12/3M	0	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x3	2/31	0	-23/31	1	-4/31	0	4/31	-1/31	0	
x1	13/62	1	26/31	0	5/62	0	-5/62	9/62	0	
x8	345/62	0	-3/31	0	3/62	-1	-3/62	-7/62	1	
F(X2)	15/62+345/62M	0	610/31-3/31M	0	121/62+3/62M	-1M	-121/62-13/62M	113/62-17/62M	0	

Итерация №2.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент .
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4
и из них выберем наименьшее:
min (- , 13/62 : 5/62 , 345/62 : 3/62 ) = 23/5
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (5/62) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min	
x3	2/31	0	-23/31	1	-4/31	0	4/31	-1/31	0	-	
x1	13/62	1	26/31	0	5/62	0	-5/62	9/62	0	23/5	
x8	345/62	0	-3/31	0	3/62	-1	-3/62	-7/62	1	77	
F(X3)	15/62+345/62M	0	610/31-3/31M	0	121/62+3/62M	-1M	-121/62-13/62M	113/62-17/62M	0	0	

Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x3	2/5	13/5	3/5	1	0	0	0	1/5	0	
x4	23/5	122/5	102/5	0	1	0	-1	14/5	0	
x8	33/5	-3/5	-3/5	0	0	-1	0	-1/5	1	
F(X3)	-22/5+33/5M	-163/5-3/5M	-73/5-3/5M	0	0	-1M	-1M	-11/5-11/5M	0	

Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	
x3	2/5	13/5	3/5	1	0	0	0	1/5	0	
x4	23/5	122/5	102/5	0	1	0	-1	14/5	0	
x8	33/5	-3/5	-3/5	0	0	-1	0	-1/5	1	
F(X4)	-22/5+33/5M	-163/5-3/5M	-73/5-3/5M	0	0	-1M	-1M	-11/5-11/5M	0	

Оптимальный план можно записать так:
x3 = 2/5
x4 = 23/5
x8 = 33/5
F(X) = -6•2/5 = -22/5

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Симплекс-метод
Вместе с этой задачей решают также:
Графический метод решения задач линейного программирования
Двойственный симплекс-метод
Двойственная задача линейного программирования
Метод Гомори
Транспортная задача