Динамическое программирование
Задачи динамического программирования: задача распределения инвестиций, задача замены оборудования, задача Джонсона
xf1(x)f2(x)f3(x)
16.345
25.267
34.34.67.8
4563
5*76.38.2
Решить онлайн
Примеры решений Метод Гомори Графический метод Теория игр Симплекс-метод M-задача Теоремы двойственности Одноканальные СМО Задача коммивояжера Транспортная задача

Переход к стандартной форме ЗЛП

СЗЛП - задача линейного программирования вида ax ≥ b или ax ≤ b. где a - матрица коэффициентов, b - вектор ограничений.
Математическая модель ЗЛП называется стандартной, если ограничения в ней представлены в виде линейных неравенств, а целевая функция минимизируется или максимизируется.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для приведения КЗЛП к СЗЛП путем преобразования матрицы a к единичной. При этом возможны две стандартных формы:

  1. Первая стандартная форма ax ≥ b, F(X) → min.
  2. Вторая стандартная форма ax ≤ b, F(X) → max.
Инструкция. Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word.
Количество переменных
Количество строк (количество ограничений)
Для всех переменных xi≥0.
Этот же калькулятор можно использовать при методе перебора опорных решений.
Привести к канонической форме

Пример. Дана основная задача линейного программирования. При помощи элементарных преобразований матрицы коэффициентов системы ограничений привести задачу к стандартному виду и решить ее геометрическим методом или доказать, что она не имеет оптимального плана.

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

16-1-1-12
5-12-120-4
3-1-20-1-7

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной выбираем x1.
Разрешающий элемент РЭ=1.
Строка, соответствующая переменной x1, получена в результате деления всех элементов строки x1 на разрешающий элемент РЭ=1
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x1 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
1 : 16 : 1-1 : 1-1 : 1-1 : 12 : 1
5-(1·5):1-12-(6·5):1-1-(-1·5):12-(-1·5):10-(-1·5):1-4-(2·5):1
3-(1·3):1-1-(6·3):1-2-(-1·3):10-(-1·3):1-1-(-1·3):1-7-(2·3):1
2. В качестве базовой переменной выбираем x2.
Разрешающий элемент РЭ=-42.
Строка, соответствующая переменной x2, получена в результате деления всех элементов строки x2 на разрешающий элемент РЭ=-42
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x2 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
1-(0·6):-426-(-42·6):-42-1-(4·6):-42-1-(7·6):-42-1-(5·6):-422-(-14·6):-42
0 : -42-42 : -424 : -427 : -425 : -42-14 : -42
0-(0·-19):-42-19-(-42·-19):-421-(4·-19):-423-(7·-19):-422-(5·-19):-42-13-(-14·-19):-42

Получаем новую матрицу:
10-3/70-2/70
01-2/21-1/6-5/421/3
00-17/21-1/6-11/42-20/3

3. В качестве базовой переменной выбираем x3.
Разрешающий элемент РЭ=-17/21.
Строка, соответствующая переменной x3, получена в результате деления всех элементов строки x3 на разрешающий элемент РЭ=-17/21
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x3 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
1-(0·-3/7):-17/210-(0·-3/7):-17/21-3/7-(-17/21·-3/7):-17/210-(-1/6·-3/7):-17/21-2/7-(-11/42·-3/7):-17/210-(-62/3·-3/7):-17/21
0-(0·-2/21):-17/211-(0·-2/21):-17/21-2/21-(-17/21·-2/21):-17/21-1/6-(-1/6·-2/21):-17/21-5/42-(-11/42·-2/21):-17/211/3-(-62/3·-2/21):-17/21
0 : -17/210 : -17/21-17/21 : -17/21-1/6 : -17/21-11/42 : -17/21-62/3 : -17/21

Получаем новую матрицу:
1003/34-5/3460/17
010-5/34-3/3419/17
0017/3411/34140/17

Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (1,2,3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x1 + 3/34x4 - 5/34x5 = 39/17
x2 - 5/34x4 - 3/34x5 = 12/17
x3 + 7/34x4 + 11/34x5 = 84/17
Выразим базисные переменные через остальные:
x1 = - 3/34x4 + 5/34x5+39/17
x2 = 5/34x4 + 3/34x5+12/17
x3 = - 7/34x4 - 11/34x5+84/17
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = - 3(- 3/34x4 + 5/34x5+39/17) + 13( 5/34x4 + 3/34x5+12/17) + (- 7/34x4 - 11/34x5+84/17) - 2x4
или
F(X) = - 1/34x4 + 13/34x5+123/17 → max
Система неравенств:
- 3/34x4 + 5/34x5+39/17 ≥ 0
5/34x4 + 3/34x5+12/17 ≥ 0
- 7/34x4 - 11/34x5+84/17 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3/34x4 - 5/34x5 ≤ 39/17
- 5/34x4 - 3/34x5 ≤ 12/17
7/34x4 + 11/34x5 ≤ 84/17
F(X) = - 1/34x4 + 13/34x5+123/17 → max
Упростим систему.
3x1 - 5x2 ≤ 120
- 5x1 - 3x2 ≤ 38
7x1 + 11x2 ≤ 280
F(X) = - x1 + 13x2+414 → max

Далее систему можно решать геометрическим методом.

Пример №2. Привести следующую КЗЛП к задаче в стандартной форме:
F = x1 – 2x2 –x3 –x4 → max
при ограничениях:
2x1 + x3 –x4 +x5 = 2
4x1 + x2 +3x3 +x4+2x5 = 7
-x1 +x3 +2x4+x5 = 2
xi ≥0

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
2 0 1 -1 1 2
4 1 3 1 2 7
-1 0 1 2 1 2

Методом Жордано-Гаусса приведем матрицу к единичной:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (2).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1 x2 x3 x4 x5 B
2 / 2 = 1 0 / 2 = 0 1 / 2 = 0.5 -1 / 2 = -0.5 1 / 2 = 0.5 2 / 2 = 1
1 0 0.5 -0.5 0.5 1
0 1 1 3 0 3
0 0 1.5 1.5 1.5 3

Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 x2 x3 x4 x5 B
0 / 1 = 0 1 / 1 = 1 1 / 1 = 1 3 / 1 = 3 0 / 1 = 0 3 / 1 = 3
1 0 0.5 -0.5 0.5 1
0 1 1 3 0 3
0 0 1.5 1.5 1.5 3

Разрешающий элемент равен (1.5).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
1 0 0 -1 0 0
0 1 0 2 -1 1
0 0 1 1 1 2

Соответствующие уравнения имеют вид:
x1 – x4 = 0
x2 + 2x4 – x5= 1
x3 + x4 + x5= 2

Выразим x1, x2 и x3 через x4 и x5.
x1 = x4
x2 = -2x4 + x5 + 1
x3 = -x4 - x5 + 2
Получим новую целевую функцию F = - 4 + x4 – x5 → max
и систему неравенств
x4 ≥ 0
-2x4 + x5 + 1 ≥ 0
-x4 - x5 + 2≥ 0
x5 ≥ 0
Приводим второе и третье неравенство к следующему виду:
x4 ≥ 0
2x4 - x5 ≤ 1
x4 + x5 ≤ 2
x5 ≥ 0
F = - 4 + x4 – x5 → max
Таким образом, исходная КЗЛП сведена к СЗЛП.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №2. Дана основная задача линейного программирования. При помощи элементарных преобразований матрицы коэффициентов системы ограничений, привести задачу стандартному виду и решить ее геометрическим методом. Методом искусственного базиса получить каноническую задачу (или доказать несовместимость этой системы). Решить полученную модель с помощью симплекс-таблиц (или доказать, что она не имеет оптимального плана).
Решение.
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

3-11114
11-62-104
4-5-30-1-8

Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной выбираем x1.
Разрешающий элемент РЭ=3.
Строка, соответствующая переменной x1, получена в результате деления всех элементов строки x1 на разрешающий элемент РЭ=3
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x1 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (3), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
3 : 3 -1 : 3 1 : 3 1 : 3 1 : 3 4 : 3
11-(3·11):3 -6-(-1·11):3 2-(1·11):3 -1-(1·11):3 0-(1·11):3 4-(4·11):3
4-(3·4):3 -5-(-1·4):3 -3-(1·4):3 0-(1·4):3 -1-(1·4):3 -8-(4·4):3
Получаем новую матрицу:
1-1/31/31/31/3 11/3
0 -21/3 -12/3 -42/3 -32/3 -102/3
0 -32/3 -41/3 -11/3 -21/3 -131/3
2. В качестве базовой переменной выбираем x2.
Разрешающий элемент РЭ=-21/3.
Строка, соответствующая переменной x2, получена в результате деления всех элементов строки x2 на разрешающий элемент РЭ=-21/3
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x2 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
1-(0·-1/3):-21/3-1/3-(-21/3·-1/3):-21/31/3-(-12/3·-1/3):-21/31/3-(-42/3·-1/3):-21/31/3-(-32/3·-1/3):-21/3 11/3-(-102/3·-1/3):-21/3
0 : -21/3 -21/3 : -21/3 -12/3 : -21/3 -42/3 : -21/3 -32/3 : -21/3 -102/3 : -21/3
0-(0·-32/3):-21/3 -32/3-(-21/3·-32/3):-21/3 -41/3-(-12/3·-32/3):-21/3 -11/3-(-42/3·-32/3):-21/3 -21/3-(-32/3·-32/3):-21/3 -131/3-(-102/3·-32/3):-21/3
Получаем новую матрицу:
1 04/7 16/7 26/7
0 15/7 2 14/7 44/7
0 0 -15/7 6 33/7 33/7
3. В качестве базовой переменной выбираем x3.
Разрешающий элемент РЭ=-15/7.
Строка, соответствующая переменной x3, получена в результате деления всех элементов строки x3 на разрешающий элемент РЭ=-15/7
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x3 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
1-(0·4/7):-15/7 0-(0·4/7):-15/74/7-(-15/7·4/7):-15/7 1-(6·4/7):-15/76/7-(33/7·4/7):-15/7 26/7-(33/7·4/7):-15/7
0-(0·5/7):-15/7 1-(0·5/7):-15/75/7-(-15/7·5/7):-15/7 2-(6·5/7):-15/7 14/7-(33/7·5/7):-15/7 44/7-(33/7·5/7):-15/7
0 : -15/7 0 : -15/7 -15/7 : -15/7 6 : -15/7 33/7 : -15/7 33/7 : -15/7
Получаем новую матрицу:
1 0 0 3 2 4
0 1 0 41/2 3 6
0 0 1 -31/2 -2 -2
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (1, 2, 3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x1 + 3x4 + 2x5 = 4
x2 + 41/2x4 + 3x5 = 6
x3 - 31/2x4 - 2x5 = -2
Выразим базисные переменные через остальные:
x1 = - 3x4 - 2x5+4
x2 = - 41/2x4 - 3x5+6
x3 = 31/2x4 + 2x5-2
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 4(- 3x4 - 2x5+4) + (- 41/2x4 - 3x5+6) + ( 31/2x4 + 2x5-2) + x4 + x5-4
или
F(X) = - 12x4 - 8x5+20 → max
Система неравенств:
- 3x4 - 2x5+4 ≥ 0
- 41/2x4 - 3x5+6 ≥ 0
31/2x4 + 2x5-2 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3x4 + 2x5<= 4
41/2x4 + 3x5<= 6
- 31/2x4 - 2x5<= -2
F(X) = - 12x4 - 8x5+20 → max
Упростим систему.
3x1 + 2x2<= 4
41/2x1 + 3x2<= 6
- 31/2x1 - 2x2<= -2
F(X) = - 12x1 - 8x2+20 → max

Пример №3. F(X) = 3x1 - 2x2 + 5x3 - 4x5 → max при ограничениях:
x1 + x2 + x3=12
2x1 - x2 + x4=8
- 2x1 + 2x2 + x5=10
F(X) = 3x1 - 2x2 + 5x3 - 4x5
Переход к СЗЛП.
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

1110012
2-10108
-2200110
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x3.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x1 + x2 + x3 = 12
2x1 - x2 + x4 = 8
- 2x1 + 2x2 + x5 = 10
Выразим базисные переменные через остальные:
x3 = - x1 - x2+12
x4 = - 2x1 + x2+8
x5 = 2x1 - 2x2+10
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 3x1 - 2x2 + 5(- x1 - x2+12) - 4(2x1 - 2x2+10)
или
F(X) = - 10x1 + x2+20 → max
Система неравенств:
- x1 - x2+12 ≥ 0
- 2x1 + x2+8 ≥ 0
2x1 - 2x2+10 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
x1 + x2 ≤ 12
2x1 - x2 ≤ 8
- 2x1 + 2x2 ≤ 10
F(X) = - 10x1 + x2+20 → max
Упростим систему.
x1 + x2 ≤ 12
2x1 - x2 ≤ 8
- 2x1 + 2x2 ≤ 10
F(X) = - 10x1 + x2+20 → max

Пример №4. Преобразовать задачу линейного программирования к стандартной форме:
z = -3x1 + 4x2 – 2x3 + 5x4 → max
4x1 - x2 + 2x3 - x4 = -2
x1 + x2 + 3x3 - x4 ≤ 14
-2x1 + 3x2 – x3 + 2x4 ≥ 2
x1≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≤ 0
Переменная x4 не ограничена по знаку.

Решение проводим с помощью калькулятора.
F(X) = - 3x1 + 4x2 - 2x3 + 5x4 → max при ограничениях:
4x1 - x2 + 2x3 - x4=-2
x1 + x2 + 3x3 - x4≤14
- 2x1 + 3x2 - x3 + 2x4≥2
x3≤0
Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
4x1-1x2 + 2x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = -2
1x1 + 1x2 + 3x3-1x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 14
-2x1 + 3x2-1x3 + 2x4 + 0x5-1x6 + 0x7 = 2
0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 0
3. Так как переменная x4, произвольного знака, то она заменяется разностями неотрицательных переменных.
4x1 - x2 + 2x3 - (x8 - x9) = -2
x1 + x2 + 3x3 - (x8 - x9) + x5 = 14
- 2x1 + 3x2 - x3 + 2(x8 - x9) - x6 = 2
x3 + x7 = 0
4. Соответствующая целевая функция примет вид:
F(X) = - 3x1 + 4x2 - 2x3 + 5(x8 - x9)
или
F(X) = - 3x1 + 4x2 - 2x3 + 5x8 - 5x9 → max при ограничениях:
4x1 - x2 + 2x3 - x8 + x9 = -2
x1 + x2 + 3x3 + x5 - x8 + x9 = 14
- 2x1 + 3x2 - x3 - x6 + 2x8 - 2x9 = 2
x3 + x7 = 0
Упростим задачу ЗЛП с заменой всех переменных (сократим их количество).
4x1 - x2 + 2x3 - x7 + x8 = -2
x1 + x2 + 3x3 + x4 - x7 + x8 = 14
- 2x1 + 3x2 - x3 - x5 + 2x7 - 2x8 = 2
x3 + x6 = 0
F(X) = - 3x1 + 4x2 - 2x3 + 5x7 - 5x8 → max
Переход к СЗЛП.
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

4-12000-11-2
113100-1114
-23-10-102-22
001001000
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной выбираем x1.
Разрешающий элемент РЭ=4.
Строка, соответствующая переменной x1, получена в результате деления всех элементов строки x1 на разрешающий элемент РЭ=4
На месте разрешающего элемента получаем 1.
В остальных клетках столбца x1 записываем нули.
Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (4), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
4 : 4-1 : 42 : 40 : 40 : 40 : 4-1 : 41 : 4-2 : 4
1-(4·1):41-(-1·1):43-(2·1):41-(0·1):40-(0·1):40-(0·1):4-1-(-1·1):41-(1·1):414-(-2·1):4
-2-(4·-2):43-(-1·-2):4-1-(2·-2):40-(0·-2):4-1-(0·-2):40-(0·-2):42-(-1·-2):4-2-(1·-2):42-(-2·-2):4
0-(4·0):40-(-1·0):41-(2·0):40-(0·0):40-(0·0):41-(0·0):40-(-1·0):40-(1·0):40-(-2·0):4
Получаем новую матрицу:
1-1/41/2000-1/41/4-1/2
05/45/2100-3/43/429/2
05/200-103/2-3/21
001001000
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
4. В качестве базовой переменной можно выбрать x6.
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (1,4,5,6).
Соответствующие уравнения имеют вид:
x1 - 1/4x2 + 1/2x3 - 1/4x7 + 1/4x8 = -1/2
11/4x2 + 21/2x3 + x4 - 3/4x7 + 3/4x8 = 141/2
- 21/2x2 + x5 - 11/2x7 + 11/2x8 = -1
x3 + x6 = 0
Выразим базисные переменные через остальные:
x1 = 1/4x2 - 1/2x3 + 1/4x7 - 1/4x8-1/2
x4 = - 11/4x2 - 21/2x3 + 3/4x7 - 3/4x8+141/2
x5 = 21/2x2 + 11/2x7 - 11/2x8-1
x6 = - x3
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = - 3( 1/4x2 - 1/2x3 + 1/4x7 - 1/4x8-1/2) + 4x2 - 2x3 + 5x7 - 5x8
или
F(X) = 31/4x2 - 1/2x3 + 41/4x7 - 41/4x8+11/2 → max
Система неравенств:
1/4x2 - 1/2x3 + 1/4x7 - 1/4x8-1/2 ≥ 0
- 11/4x2 - 21/2x3 + 3/4x7 - 3/4x8+141/2 ≥ 0
21/2x2 + 11/2x7 - 11/2x8-1 ≥ 0
- x3 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
- 1/4x2 + 1/2x3 - 1/4x7 + 1/4x8-1/2
11/4x2 + 21/2x3 - 3/4x7 + 3/4x8 ≤ 141/2
- 21/2x2 - 11/2x7 + 11/2x8 ≤ -1
x3 ≤ 0
F(X) = 31/4x2 - 1/2x3 + 41/4x7 - 41/4x8+11/2 → max
Упростим систему.
- 1/2x1 + x2 - 1/2x3 + 1/2x4 ≤ -1
21/2x1 + 5x2 - 11/2x3 + 11/2x4 ≤ 29
- 5x1 - 3x3 + 3x4 ≤ -2
x2 ≤ 0
F(X) = 31/4x1 - 1/2x2 + 41/4x3 - 41/4x4+11/2 → max
ЕГЭ по математике
Yandex.Просвещение представляет бесплатные видеокурсы по ЕГЭ с возможностью прохождения тестов
Подробнее
Транспортная задача
Используя метод минимального тарифа, представить первоначальный план для решения транспортной задачи. Проверить на оптимальность, используя метод потенциалов. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
1234b
112436
243858
3276310
a4688 
Решить онлайн
Динамическое программирование
Задачи динамического программирования: задача распределения инвестиций, задача замены оборудования, задача Джонсона
xf1(x)f2(x)f3(x)
16.345
25.267
34.34.67.8
4563
5*76.38.2
Решить онлайн