Примеры решений СМО с очередью Симплекс-метод Теория игр Одноканальные СМО Многоканальные СМО СМО с отказами Интенсивность нагрузки Уравнения Колмогорова Марковские процессы

Абсолютная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может быть обслужено в единицу времени. Характеризует интенсивность выходящего потока обслуженных заявок.
Тип СМОСМО с отказамиСМО с очередьюСМО с неограниченной очередью
Одноканальные СМОA = Q × λ = p0 × λA = Q × λA = λ
Многоканальные СМОA = Q × λA = Q × λA = λ
p0 - вероятность того, что канал свободен, Q - относительная пропускная способность
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
1. Интенсивность нагрузки.

Интенсивность нагрузки ρ=3 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания.
 мин.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Следовательно, 3% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 1.7 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1  = ρ1/1! p0 = 31/1!·0.0282 = 0.0845
заняты 2 канала:
p2  = ρ2/2! p0 = 32/2!·0.0282 = 0.13
заняты 3 канала:
p3  = ρ3/3! p0 = 33/3!·0.0282 = 0.13
4. Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 13% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.13 = 0.87
Следовательно, 87% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием.
nз = ρ·pобс = 3·0.87 = 2.6 каналов
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 3 - 2.6 = 0.4 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 90% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность для многоканальной СМО.

A = pобс·λ = 0.87·6 = 5.2 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк ∙ tобс = 0.13∙ 0.5 = 0.06 мин.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

 ед.
11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
 мин.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ·Q = 3·0.87 = 2.62 ед.
13. Среднее число заявок в системе.
LCMO = Lоч + Lобс = 1.9 + 2.62 = 4.52 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
 мин.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ·p1 = 0.78 заявок в  мин.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.5 = 6 заявок в  мин.
Фактическая производительность СМО: 5.2 / 6 = 87% от номинальной производительности.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №2. Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. Машины с товаром прибывают в универсам в неопределенное время. В среднем прибывает λ автомашин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более m автомашин одновременно. В универсаме работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обработать товар с одной машины в течение tобсл дня. Определить вероятность обслуживания приходящей автомашины Pобс. Какова должна быть емкость подсобных помещений m1, чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине, т.е. Pобс.> P*обс.
λ = 3; tобс = 0,5; n = 2; m = 2, P*обс = 0,92.
Решение.

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Переводим интенсивность потока заявок в часы: λ = 3/24 = 0.13
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 1/12 = 0.0833
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ·tобс = 0.13·12 = 1.56
Интенсивность нагрузки ρ=1.56 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку 1.56<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 18% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 11 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 1.561/1!·0.18 = 0.29
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 1.562/2!·0.18 = 0.22
4. Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 14% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.14 = 0.86
Следовательно, 86% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием.
nз = ρ·pобс = 1.56·0.86 = 1.35 канала.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 2 - 1.35 = 0.7 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
K3 = n3/n = 1.35/2 = 0.7
Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.
8. Находим абсолютную пропускную способность.
A = pобс·λ = 0.86·0.13 = 0.11 заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк·tобс = 0.14·12 = 1.62 час.
Вероятность образования очереди.


10. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

ед.
11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
Tоч = Lоч/A = 0.44/0.11 = 3.96 час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ·Q = 1.56·0.86 = 1.35 ед.
13. Среднее число заявок в системе.
LCMO = Lоч + Lобс = 0.44 + 1.35 = 1.79 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
TCMO = LCMO/A = 1.79/0.11 = 16.01 час.

Теперь ответим на вопрос: какова должна быть емкость подсобных помещений m1, чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине, т.е. Pобс. > 0.92. Расчет производим исходя из условия:

где
Для наших данных:

Далее необходимо подобрать такое k (см. п.3 "доля времени простоя каналов"), при котором pотк < 0.08 или pобс > 0.92.
например, при k = m1 = 4, pотк = 0.07 или pобс = 0.93.

Пример №3. На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.

Решение:
Определяем тип СМО. Фраза « На станцию» говорит об единственном устройстве обслуживания, т.е. для проверки решения используем сервис Одноканальные СМО.
Определяем вид одноканальной СМО. Поскольку имеется упоминание об очереди, следовательно выбираем «Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди».
Параметр λ необходимо выразить в часах. Интенсивность заявок 1 автомобиль за 2 ч или 0,5 за 1 час.
Интенсивность потока обслуживания μ явно не задана. Здесь приводится время обслуживания tобс = 2 часа.

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ·tобс = 0.5·2 = 1
Интенсивность нагрузки ρ=1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).


Следовательно, 20% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 12 мин.

4. Доля заявок, получивших отказ.
Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки, pотк = 0.

5. Относительная пропускная способность.
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Q = 1 - pотк = 1 - 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Абсолютная пропускная способность.
A = Q·λ = 1·0.5 = 0.5 заявок/час.

8. Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди).

 ед.

9. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
 час.

10. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ·Q = 1·1 = 1 ед.

12. Среднее число заявок в системе.
LCMO = Lоч + Lобс = 1.2 + 1 = 2.2 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
 час.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ·p1 = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 2 = 0.5 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 0.5 / 0.5 = 100% от номинальной производительности.

Вывод: станция загружена на 100%. При этом отказов не наблюдается.

ЕГЭ по математике
Yandex.Просвещение представляет бесплатные видеокурсы по ЕГЭ с возможностью прохождения тестов
Подробнее
Метод Гомори
Метод Гомори
Метод Гомори. Решение задачи целочисленного программирования
Решить онлайн
Транспортная задача
Используя метод минимального тарифа, представить первоначальный план для решения транспортной задачи. Проверить на оптимальность, используя метод потенциалов. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
1234b
112436
243858
3276310
a4688 
Решить онлайн
Курсовые на заказ