Одноканальная СМО с ожиданиями

Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданиями, в которой число каналов равно единице n = 1, интенсивность поступления заявок – λ, интенсивность обслуживания равна μ. Заявка, поступившая в тот момент времени, когда канал занят, становится в очередь и ждет обслуживания. Количество мест в очереди ограничено и равно m. Если все места в очереди заняты, то заявка покидает очередь не обслуженной. Проанализируем состояние системы:
S0 – канал свободен;
S1 – канал занят;
S2 – канал занят, одна заявка в очереди;
Sk – канал занят, (k – 1) заявок в очереди;
Sm + 1 – канал занят, в очереди m заявок.
Изобразим граф состояний такой СМО (рис. 7.25).

Рис. 7.25
По формулам Эрланга найдем вероятности событий, состоящих в том, что СМО находится в состоянии S1, S2, …, Sm+1:

(7.28)
При этом вероятность того, что заявка, прибывшая в систему, найдет ее свободной, равна

. (7.29)
Отношение интенсивности поступления заявок λ к интенсивности обслуживания заявок есть приведенная интенсивность μ, т. е.


Произведем замену в формулах (7.28) и (7.29) отношения на ρ, тогда выражения примут вид:

(7.30)
Вероятность Р0 будет вычисляться по следующей формуле:

. (7.31)
Выражение для вероятности P0 есть геометрическая прогрессия, сумма которой будет равна

.
Таким образом, формулы (7.30) и (7.31) позволяют определить вероятность любого события, которое может произойти в системе, т. е. определить вероятность нахождения системы в любом состоянии.
Формула для P0 справедлива для случая, когда ρ . В случае, когда ρ = 1, т. е. интенсивность поступления заявок равна интенсивности их обслуживания, используется другая формула для вычисления вероятности того, что система свободна:

,
где m – это количество заявок, находящихся в очереди.

Определим характеристики эффективности одноканальной СМО:

  • вероятность того, что очередная заявка, прибывшая в систему, получит отказ Ротк;
  • абсолютную пропускную способность А,
  • относительную пропускную способность Q,
  • число занятых каналов ,
  • среднее число заявок в очереди ,
  • среднее число заявок, связанных с СМО, .

Очередная заявка, поступившая в систему, получает отказ в том случае, когда занят канал, т. е. идет обслуживание другой заявки, и все m мест в очереди также заняты. тогда вероятность этого события можно вычислить по следующей формуле:

. (7.32)
Вероятность того, что заявка придет в систему и либо немедленно будет обслужена, либо будут места в очереди, т. е. относительную пропускную способность, можно найти по формуле

. (7.33)
Среднее число заявок, которые могут быть обслужены в единицу времени, т. е. абсолютную пропускную способность, рассчитывают следующим образом:

. (7.34)
Таким образом, по формулам (7.32), (7.33), (7.34) можно вычислить основные показатели эффективности для любой системы массового обслуживания. теперь выведем выражения для вычисления характеристик, присущих лишь данной СМО.
Среднее число заявок в очереди определим как математическое ожидание дискретной случайной величины, где R – число заявок в очереди.
Р2 – это вероятность того, что в очереди на обслуживание находится одна заявка;
Р3 – вероятность того, что в очереди две заявки;
Рk – вероятность того, что в очереди (k – 1) заявка;
Рm + 1 – вероятность того что в очереди m заявок.
Тогда среднее число заявок в очереди можно вычислить следующим образом:

. (7.35)
Подставим в формулу (7.35) найденные ранее значения вероятностей, вычисленные в формуле (7.30):

.
Вынесем за скобку вероятность P0 и Р2, тогда получим итоговую формулу для вычисления среднего числа заявок в очереди на обслуживание:

. (7.36)
Выведем формулу для среднего числа заявок, связанных с СМО, , т. е. число заявок в очереди, находящихся на обслуживании. Рассмотрим общее число заявок, связанных с СМО, как сумму двух величин среднего числа заявок в очереди и числа занятых каналов :

= +.
Так как канал один, то число занятых каналов может принимать значения 0 или 1. Вероятность того, что = 0, т. е. система свободна, соответствует вероятности Р0, значение которой можно найти по формуле (7.31). Если = 1, т. е. канал занят обслуживанием заявки, но места в очереди еще есть, то вероятность этого события можно вычислить по формуле

.
Следовательно, будет равно:

. (7.37)

загрузка...