Пример решения биматричной игры

Решение находим с помощью калькулятора.
В каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице A. Их положение соответствует приемлемым ситуациям 1-го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию j соответственно.
Затем в каждой строке матрицы B выберем наибольший элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице B. Их положение будет определять приемлемые ситуации 2-го игрока, когда первый игрок выбрал стратегию i соответственно.
Платежная матрица игрока А:

-10

2

1

-1


Платежная матрица игрока B:

5

-2

-1

1

Если биматричная игра не имеет равновесных ситуаций в чистых стратегиях, то она неразрешима в чистых стратегиях. И тогда можно искать решение в смешанных стратегиях.

Итак, чтобы в биматричной игре:
А=(aij), В = (bij) пара (p,q);
определяемая равновесную ситуацию, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих неравенств:
(p–1)(Cq-α) ≥ 0, p(Cq-α) ≥ 0; 0 ≥ p ≥ 1
(q-1)(Dp-β) ≥ 0, q(Dp-β) ≥ 0; 0 ≥ q ≥ 1
где
C = a11 - a12 - a21 + a22
α = a22- a12
D = b11-b12-b21+b22
β = b22-b21
Проводя необходимые вычисления:
C = -10 - 2 - 1 -1 = -14
α = -1 - 2 = -3
D = 5 - (-2) - (-1) + 1 = 9
β = 1 - (-1) = 2
и рассуждения
(p–1)(-14q+3) ≥ 0
p(-14q+3) ≥ 0
(q-1)(9p-2) ≥ 0
q(9p-2) ≥ 0
получаем, что:
1) p=1,q ≥ 3/14
p=0, q ≤ 3/14
0 ≤ p ≤ 1, q=3/14
2) q=1,p ≥ 2/9
q=0, p ≤ 2/9
0 ≤ q ≤ 1, p=2/9

Цена игры
Ha(2/9;3/14) = -4/7
Hb(2/9;3/14) = 1/3

Ответ:
P* = (2/9;7/9); Q* = (3/14;11/14).
Выигрыш игроков в равновесной ситуации:
f(P*,Q*) = (-4/7;1/3).

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...