Элементы теории массового обслуживания

Теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело. Несмотря на все свое разнообразие, приведенные системы обладают рядом типичных свойств, а именно.
  • СМО (системы массового обслуживания) - это модели систем, в которые в случайные моменты времени извне или изнутри поступают заявки (требования). Они должны тем или иным образом быть обслужены системой. Длительность обслуживания чаще всего случайна.
  • СМО представляет собой совокупность обслуживающего оборудования и персонала при соответствующей организации процесса обслуживания.
  • Задать СМО – это значит задать ее структуру и статистические характеристики последовательности поступления заявок и последовательности их обслуживания.

Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы:
  • показатели, характеризующие систему в целом: число n занятых каналов обслуживания, число обслуженных (λb), ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок (λc) в единицу времени и т.д.;
  • вероятностные характеристики: вероятность того, что заявка будет обслужена (Pобс) или получит отказ в обслуживании (Pотк), что все приборы свободны (p0) или определенное число их занято (pk), вероятность наличия очереди и т.д.;
  • экономические показатели: стоимость потерь, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д.

Часть технических показателей (первые две группы) характеризуют систему с точки зрения потребителей, другая часть – характеризует систему с точки зрения её эксплуатационных свойств. Часто выбор перечисленных показателей, может улучшать эксплуатационные свойства системы, но ухудшать систему с точки зрения потребителей и наоборот. Использование экономических показателей позволяет разрешить указанное противоречие и оптимизировать систему с учетом обеих точек зрения.
В ходе выполнения домашней контрольной работы изучаются простейшие СМО. Это системы разомкнутого типа, бесконечный источник заявок в систему не входит. Входной поток заявок, потоки обслуживания и ожидания этих систем являются простейшими. Приоритеты отсутствуют. Системы однофазные.
Многоканальная система с отказами
Система состоит из одного узла обслуживания, содержащего n каналов обслуживания, каждый из которых может обслуживать только одну заявку.
Все каналы обслуживания одинаковой производительности и для модели системы неразличимы. Если заявка поступила в систему и застала хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка покидает систему не обслуженной.
Смешанные системы
  1. Система с ограничением на длину очереди.
    Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. Заявка покидает очередь и уходит из системы, если в накопителе к моменту ее появления уже находятся m заявок (m максимально возможноечисло мест в очереди). Если заявка поступила в систему и застала, хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка не покидает систему, а занимает место в очереди. Заявка покидает систему не обслуженной, если к моменту её поступления в систему заняты все каналы обслуживания и все места в очереди.
    Для каждой системы определяется дисциплина очереди. Это система правил, определяющих порядок поступления заявок из очереди в узел обслуживания. Если все заявки и каналы обслуживания равнозначны, то чаще всего действует правило «кто раньше пришел, тот раньше обслуживается».
  2. Система с ограничением на длительность пребывания заявки в очереди.
    Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. От предыдущей системы она отличается тем, что заявка, поступившая в накопитель (очередь), может ожидать начала обслуживания лишь ограниченное время Тож (чаще всего это случайная величина). Если её время Тож истекло, то заявка покидает очередь и уходит из системы не обслуженной.

Математическое описание СМО
СМО рассматриваются как некоторые физические системы с дискретными состояниями х0, х1, …, хn, функционирующие при непрерывном времени t. Число состояний n может быть конечным или счетным (n → ∞). Система может переходить из одного состояния хi (i=1, 2, … ,n) в другое хj (j=0, 1, … ,n) в произвольный момент времени t. Чтобы показать правила таких переходов, используют схему, называемую графом состояний. Для типов перечисленных выше систем графы состояний образуют цепь, в которой каждое состояние (кроме крайних) связано прямой и обратной связью с двумя соседними состояниями. Это схема гибели и размножения.
Переходы из состояния в состояние происходят в случайные моменты времени. Удобно считать, что эти переходы происходят в результате действия каких-то потоков (потоков входных заявок, отказов в обслуживании заявок, потока восстановления приборов и т.д.). Если все потоки простейшие, то протекающий в системе случайный процесс с дискретным состоянием и непрерывным временем будет марковским.
Поток событий - это последовательность однотипных событий, протекающих в случайные моменты времени. Его можно рассматривать как последовательность случайных моментов времени t1, t2, … появления событий.
Простейшим называют поток, обладающий следующими свойствами:
  • Ординарность. События следуют по одиночке (противоположность потоку, где события следуют группами).
  • Стационарность. Вероятность попадания заданного числа событий на интервал времени Т зависит только от длины интервала и не зависит от того, где на оси времени находиться этот интервал.
  • Отсутствие последействия. Для двух непересекающихся интервалов времени τ1 и τ2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой интервал.

В простейшем потоке интервалы времени Т1, Т2,… между моментами t1, t2, … появления событий случайны, независимы между собой и имеют показательное распределение вероятностей const, где λ - параметр показательного распределения, являющийся одновременно интенсивностью потока и представляющий собой среднее число событий, происходящих в единицу времени. Таким образом, .
Марковские случайные события описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Переменными в них служат вероятности состояний р0(t), p1(t),…,pn(t).
Для очень больших моментов времени функционирования систем (теоретически при t → ∞) в простейших системах (системы, все потоки в которых – простейшие, а граф – схема гибели и размножения) наблюдается установившийся,или стационарныйрежим работы. В этом режиме система будет изменять свое состояние, но вероятности этих состояний (финальные вероятности) рк, к= 1, 2 ,…, n, не зависят от времени и могут рассматриваться как среднее относительное время пребывания системы в соответствующем состоянии.
  1. Уравнения Колмогорова
  2. Марковские процессы
  3. Марковская цепь
  4. Система массового обслуживания
  5. Элементы теории массового обслуживания
  6. Основные понятия систем массового обслуживания
  7. Классификация систем массового обслуживания
  8. Относительная пропускная способность
  9. Абсолютная пропускная способность СМО
  10. СМО с ожиданием (очередью)
  11. Многоканальная СМО с ожиданиями
  12. СМО с отказами
  13. Модель обслуживания машинного парка

Одноканальные СМО

  1. Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания
  2. Одноканальная СМО с ожиданием
  3. Одноканальная СМО с ожиданиями
  4. Одноканальная СМО с отказами
  5. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Многоканальные СМО

  1. Многоканальная СМО с отказами
  2. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
  3. Системы с ожиданием при неограниченном входящем потоке
Посмотрите пример, как можно быстро решить задачу на тему "Теории массового обслуживания".

Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. М., 1998. – 319 с.

загрузка...