Однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ представляет собой систему понятий и технических приемов, позволяющих обобщить процедуру сравнения двух средних для двух выборок, взятых из генеральных совокупностей с нормальным распределением, на случай большого числа выборок.

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора можно:

  • провести однофакторный дисперсионный анализ;
  • ответить на вопрос - совпадают или нет средние значения экспериментов;
  • при выбранном уровне значимости подтвердить или опровергнуть нулевую гипотезу H0 о равенстве групповых средних;
Инструкция. Укажите число измерений (количество строк) q, количество уровней фактора p нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word. см. пример однофакторного дисперсионного анализа
Число измерений Количество уровней фактора

см. также Двухфакторный дисперсионный анализ

Пример. Изделие железнодорожного транспорта с целью испытания на надежность эксплуатируется q раз, i=1,...q на p уровнях времени работы Tj , j=1,..., p. В каждом испытании подсчитываются числа отказов nij. На уровне значимости α = 0,05 исследовать влияние времени работы изделия на число появления отказов методом однофакторного дисперсионного анализа при q=5, p=4. Результаты испытаний nij представлены в таблицах.
Находим групповые средние:

N П1 П2 П3 П4
1 145 210 195 155
2 140 200 190 150
3 150 190 240 180
4 190 195 210 175
xср 156.25 198.75 208.75 165

Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=4.
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:
(1)
На разброс групповых средних процента отказа относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы.
Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной S2ф, а вторая - остаточной S2ост.
С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:
(2)
и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора:

Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении Rобщ групповой средней для данного фактора.
Остаточная сумма квадратов отклонений получается как разность:
Rост = Rобщ - Rф
Для определения общей выборочной дисперсии необходимо Rобщ разделить на число измерений pq:

а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq/(pq-1):

Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии:

где p-1 - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина:

Так как отношение двух выборочных дисперсий S2ф и S2ост распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение fнабл сравнивают со значением функции распределения

в критической точке fкр, соответствующей выбранному уровню значимости a.
Если fнабл>fкр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.
Для расчета Rнабл и Rф могут быть использованы также формулы:
(4)

Находим общую среднюю по формуле (1):
Для расчета Rобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:
N П21 П22 П23 П24
1 21025 44100 38025 24025
2 19600 40000 36100 22500
3 22500 36100 57600 32400
4 36100 38025 44100 30625
99225 158225 175825 109550

Общая средняя вычисляется по формуле (1):

Rобщ = 99225 + 158225 + 175825 + 109550 - 4 • 4 • 182.192 = 11748.44
Находим Rф по формуле (5):
Rф = 4(156.252 + 198.752 + 208.752 + 1652) - 4 • 182.192 = 7792.19
Получаем Rост: Rост = Rобщ - Rф = 11748.44 - 7792.19 = 3956.25
Определяем факторную и остаточную дисперсии:


Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H0: равенство средних значений х.
Находим fнабл

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 12 находим fкр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
fкр(0.05; 3; 12) = 3.49
В связи с тем, что fнабл > fкр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем.
загрузка...