Решение систем линейных неравенств графически

см. также Решение задачи линейного программирования графически, Каноническая форма задач линейного программирования

Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:


и целевая функция имеет вид F = C 1 x + C2y, которую необходимо максимизировать.

Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x; y ) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x – 5 y ≥  42 удовлетворяют пары (x , y) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax  +  by≤  c, ax + by≥  c. Прямая ax  +  by =  c делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax +  by >c , а другой неравенству ax +  +by  <c.
Действительно, возьмем точку с координатой x = x 0; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x0, имеет ординату

Итак,

.

Пусть для определенности a< 0, b>0, c >0. Все точки с абсциссой x0, лежащие выше P (например, точка М), имеют yM>y0, а все точки, лежащие ниже точки P, с абсциссой x0, имеют yN<y0. Поскольку x0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых ax+ by > c, образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax + by< c.


Рисунок 1

Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a, b , c.
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:

  1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
  2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
  3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
  4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Рассмотрим три соответствующих примера.

Пример 1. Решить графически систему:
x + y – 1 ≤  0;
–2 x – 2y  +  5 ≤  0.

Решение:
– рассмотрим уравнения x + y–1 = 0 и –2x – 2y + 5 = 0, соответствующие неравенствам;
– построим прямые, задающиеся этими уравнениями.


Рисунок 2

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x+ y– 1  0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤  0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), xy1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y +  5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 2. Найти графически решения системы неравенств:



Рисунок 3

1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2y– 2 = 0
x 2 0
y 0 1

yx – 1 = 0
x 0 2
y 1 3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y– 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. yx– 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых



Таким образом, А(–3; –2), В(0; 1), С(6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.

Пример 3. Решить графически систему


Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.

Рисунок 4

x + y – 1 = 0
x 0 1
y 1 0

yx – 1 = 0
x 0 –1
y 1 0

Определим знаки в полуплоскостях. Выберем точку (0; 0):
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. yx – 1 ≤ 0 ниже прямой;
0 + 0 – 1 ≤ 0, т.е. x + y – 1 ≤ 0 ниже прямой.
Пересечением двух полуплоскостей является угол с вершиной в точке А(0;1). Эта неограниченная область является решением исходной системы неравенств.
Количество ограничений
загрузка...