Производная функции

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (см. пример).
Если необходимо найти производные функции нескольких переменных z = f(x,y), то можно воспользоваться данным онлайн-калькулятором. Решение оформляется в формате Word.
Функция задана в явном виде f(x) = Например, найти производную cosx + esinx+x3. Записываем как cos(x)+exp(sin(x)+x^3).
Функция задана в неявном виде F(x,y) =
Функция задана в параметрическом виде
x =
y =
Находить вторую производную
Для детального просмотра нахождения производной, нажимаем на Show steps. Правила ввода функций:
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x2+xy, записываем как x^2+x*y.
  2. Корень квадратный √ ≡ sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2*y^2), ex = exp(x), число π ≡ pi, sin2x ≡ sin(x)^2.
Таблица производных
  1. (xα)’ = α xα-1
  2. (sqrt(x))’ = x1/2 = производная sqrt(x)
  3. (ax)’ = ax·lna
  4. (ex)’ = ex
  5. (sinx)’ = cosx
  6. (cosx)’ = -sinx
  7. (shx)’ = chx
  8. (chx)’ = shx
  9. – синус гиперболический
  10. – гиперболический косинус
  11. – гиперболический тангенс
  12. – гиперболический котангенс

Дифференцирование функции, заданной неявно
Дифференцирование функции, заданной параметрически
Как найти производную, исходяя из ее определения?
Правила нахождения производных.

Прикладное использование производной

Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
  1. Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
  2. Значение производной в точке x0 позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
  3. Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
  4. В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
  5. При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
  6. В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.