Вычисление интегралов

Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.

С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять любые интегралы. Например, найти интеграл x3/3-sin(x). Запишем как x^3/3-sin(x) и нажимаем кнопку Получить решение.



dx
Примечание: число "пи" (π) записывается как pi; знак "бесконечность" (∞) ≡ infinity

Примеры правильной записи некоторых выражений

sqrt(6-x)
(6+2*x)^(1/3)
log5(1+x) log5(1+x)
(2/3+x^2)/(x^3+x)

Если интеграл определенный, например, решение интеграла онлайн, то записываем 2/x^4+tan(x), а качестве переделов интегрирования указываем 1, 2.

Далее нажимаем на Show step, где представлены все выкладки решения. Если Show step не доступен, решаем неопределенный интеграл: int(2/x^4+tan(x), x).

Приемы нахождения неопределенных интегралов

Способы нахождения неопределенных интегралов:
  1. Подведение под знак дифференциала: .
  2. Интегрирование по частям: .
  3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример): .
  4. Интегрирование рациональных дробей (пример): .
  5. Интегрирование простейших иррациональностей: .
  6. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: .
Таблица интегралов
см. также Задача интегрирования в конечном виде, Несобственные интегралы

Пример 1.Вычислить
.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем

.
Пример 2.Вычислить
.
Решение.
Аналогично предыдущему,
.

Пример 3.Вычислить
.
Решение. Поскольку
,
то .

Пример 4.Вычислить

Решение. Так как
,
то .

Пример 5.Вычислить
.
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t2, x = t2 + 5, dx = 2tdt.
Подставив в интеграл, получим

.

Пример 6.Вычислить
.
Решение.
Положим u = x2, dv = exdx; тогда du=2xdx, v = ex. Применим формулу интегрирования по частям:
.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv = exdx; тогда du=dx, v = ex и
.

Пример 7.Вычислить
.
Решение.Выделяя целую часть, получим
.
Учитывая, что x4 + 5x2 + 4 = (x2 + 1)(x2 + 4), для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x2 – 4 = (Ax+B)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 + 1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

x3 0 = A + C
x2 -5 = B +D
x 0 = 4A + C
x0 -4 = 4B + D
Отсюда находим .
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:
.

Пример 8.Вычислить
.
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.
Следовательно,
.

Пример 9.Вычислить
.
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку , тогда
, , и

.
Возвращаясь к старой переменной, получим
.

Пример 10.Вычислить
.
Решение.
Произведем замену 1+3x8 = z2. Тогда
, ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Пример 11.Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция

не ограничена в окрестности точки x=1. На любом же отрезке [1+ε;e]она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому

.
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на. По определению

Интеграл сходится.

Пример 13.Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
y = x2 и прямой x + y = 2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y = x2 и прямой y = 2-x. Решая уравнение x2 = 2-x, находим x1 = -2, x2 = 1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.