По координатам пирамиды найти: уравнение грани, площадь грани, объем пирамиды
Найти производную

Таблица интегралов
Найти интеграл онлайн

Несобственные интегралы
Диф уравнения онлайн

Неопределенный интеграл

Вычисление интегралов

Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.

С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять любые интегралы. Например, найти интеграл x3/3 - sin(x). Запишем как int(x^3/3-sin(x)) и нажимаем равно (=).

Если интеграл определенный, например, решение интеграла онлайн, то записываем int(2/x^4+tan(x), x=1..2)

Далее нажимаем на Show step, где представлены все выкладки решения. Если Show step не доступен, решаем неопределенный интеграл: int(2/x^4+tan(x), x).

Калькулятор

Примечание: число "пи" (π) записывается как pi; знак "бесконечность" (∞) записывается как infinity
Примеры правильной записи некоторых выражений
int(sqrt(6-x),x)
int((6+2*x)^(1/3),x)
log5(1+x) int(log5(1+x),x)
int((2/3+x^2)/(x^3+x),x)

Приемы нахождения неопределенных интегралов

Способы нахождения неопределенных интегралов:
  1. Подведение под знак дифференциала.
  2. Интегрирование по частям.
  3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример).
  4. Интегрирование рациональных дробей (пример).
  5. Интегрирование простейших иррациональностей.
  6. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
см. также Задача интегрирования в конечном виде, Несобственные интегралы
Пример 1.Вычислить
.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем

.
Пример 2.Вычислить
.
Решение.
Аналогично предыдущему,
.

Пример 3.Вычислить
.
Решение. Поскольку
,
то .

Пример 4.Вычислить

Решение. Так как
,
то .

Пример 5.Вычислить
.
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t2, x = t2 + 5, dx = 2tdt.
Подставив в интеграл, получим

.

Пример 6.Вычислить
.
Решение.
Положим u = x2, dv = exdx; тогда du=2xdx, v = ex. Применим формулу интегрирования по частям:
.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv = exdx; тогда du=dx, v = ex и
.

Пример 7.Вычислить
.
Решение.Выделяя целую часть, получим
.
Учитывая, что x4 + 5x2 + 4 = (x2 + 1)(x2 + 4), для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x2 – 4 = (Ax+B)(x2 + 4) + (Cx + D)(x2 + 1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

x3 0 = A + C
x2 -5 = B +D
x 0 = 4A + C
x0 -4 = 4B + D
Отсюда находим .
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:
.

Пример 8.Вычислить
.
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.
Следовательно,
.

Пример 9.Вычислить
.
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку , тогда
, , и

.
Возвращаясь к старой переменной, получим
.

Пример 10.Вычислить
.
Решение.
Произведем замену 1+3x8 = z2. Тогда
, ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Пример 11.Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция

не ограничена в окрестности точки x=1. На любом же отрезке [1+ε;e]она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому

.
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на. По определению

Интеграл сходится.

Пример 13.Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
y = x2 и прямой x + y = 2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y = x2 и прямой y = 2-x. Решая уравнение x2 = 2-x, находим x1 = -2, x2 = 1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.

Новое на сайте