Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть f(x)≥0 для Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми Разобьём отрезок [a,b] на части точками , выберем внутри каждого элементарного отрезка по точке . Заменим криволинейную трапецию, ограниченную линиями y=0,x=xi, x=xi+1, y=f(x), прямоугольником . Если f - непрерывная функция, то площадь этого прямоугольника равна и при достаточно малом близка площади заменяемой трапеции. Просуммировав, получим, с одной стороны, приближенное значение площади криволинейной трапеции, с другой стороны, интегральную сумму для интеграла . Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, получаем площадь S исходной криволинейной трапеции
Назовём трапецию простейшей областью, если она ограничена кривыми x = a, x = b, y = f1(x), y = f2(x), и для всех выполнено неравенство f1(x) ≤ f2(x). Нетрудно видеть, что для простейшей области
Аналогично, если для всех , то для криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=c, y=d, x = φ1(y), x = φ2(y) (простейшей областью второго типа), имеем

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

Примеры
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 и x = y2.
Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1). Поэтому
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 2x + 1 и x-y-1=0.
Эти кривые пересекаются в точках A(0,-1) и B(4,3). В данном случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому

см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычисление объёмов

Пусть область такова, что для известна площадь S(x) сечения плоскостью x = const Тогда, заменяя объём области заключенной между плоскостями x=xi, x=xi+1 на объём цилиндра , получаем
Для тел, полученных вращением кривой y=f(x) вокруг оси OX, имеем . Если кривую вращать вокруг оси OY, то .

Примеры
1. Трапеция ограничена кривыми Вычислить объём тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси
Подставляя в формулу, получаем

см. также Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси:

Вычисление длины дуги кривой

Рассмотрим кривую L. Разделим кривую на части точками (xi,yi), i = 1,..,n. Заменим дугу кривой между точками (xi, yi) и (xi+1, yi+1) хордой эти точки соединяющей. Тогда для длины дуги имеем . Просуммировав по всем точкам деления, получаем
Пусть кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме . Тогда где - точка лежащая между ti и ti+1. Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, имеем
(2.1)
Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрически или, что, то же самое, в векторной форме , длина кривой равна
(2.2)
Для кривой, заданной явно уравнением , формула (2.1) приобретает вид
(2.3)
Если кривая задана в полярной системе координат, то

Поэтому

Подставляя в формулу для длины кривой, получаем
(2.4)

Примеры
1. Найти длину дуги кривой y = ln(x), заключенной между точками Так как кривая задана явно, то . Делаем замену . Тогда и поэтому

2. Найти длину дуги кривой заключенной между точками t1 = 0 и t2 = 2π.
Так как кривая задана параметрически, то и поэтому

.

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Центр тяжести однородной плоской фигуры

загрузка...