Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть f(x)≥0 для ∀x∈[a,b]. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми y=0, x=a, x=b, y=f(x). Разобьём отрезок [a,b] на части точками a=x₀<x₁<...<x_n=b, выберем внутри каждого элементарного отрезка [x_i,_i+1] по точке ξ_i∈[x_i,_i+1]. Заменим криволинейную трапецию, ограниченную линиями y=0,x=x_i, x=x_i+1, y=f(x), прямоугольником y=0, x=x_i, x=_i+1, y=f(ξ). Если f - непрерывная функция, то площадь этого прямоугольника равна f(ξ)·(x_i+1-x_i)=f(ξ)·Δx_i и при достаточно малом Δx_i близка площади заменяемой трапеции. Просуммировав, получим, с одной стороны, приближенное значение площади криволинейной трапеции, с другой стороны, интегральную сумму

для интеграла

. Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, получаем площадь S исходной криволинейной трапеции

Назовём трапецию простейшей областью, если она ограничена кривыми x = a, x = b, y = f₁(x), y = f₂(x), и для всех x∈[a,b] выполнено неравенство f₁(x) ≤ f₂(x). Нетрудно видеть, что для простейшей области

Аналогично, если φ₁(y)≤φ₂(y) для всех y∈[c,d], то для криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=c, y=d, x = φ₁(y), x = φ₂(y) (простейшей областью второго типа), имеем

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

Примеры
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и x = y².
Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1). Поэтому
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 2x + 1 и x-y-1=0.
Эти кривые пересекаются в точках A(0,-1) и B(4,3). В данном случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому

см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями:

Вычисление объёмов

Пусть область такова, что для ∀x∈[a,b] известна площадь S(x) сечения плоскостью x=const. Тогда, заменяя объём области заключенной между плоскостями x=x_i, x=x_i₊₁ на объём цилиндра S(ξ)·Δx_i, получаем

Для тел, полученных вращением кривой y=f(x) вокруг оси OX, имеем

. Если кривую y=f(x) вращать вокруг оси OY, то

Примеры
1. Трапеция ограничена кривыми Вычислить объём тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси OX.
Подставляя в формулу, получаем

см. также Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси:

Вычисление длины дуги кривой

Рассмотрим кривую L. Разделим кривую на части точками (x_i,y_i), i = 1,..,n. Заменим дугу кривой между точками (x_i, y_i) и (x_i₊₁, y_i₊₁) хордой эти точки соединяющей. Тогда для длины дуги Δl_i имеем

. Просуммировав по всем точкам деления, получаем

Пусть кривая задана параметрически

или, что то же самое, в векторной форме

. Тогда

где t_i - точка лежащая между t_i и t_i+1. Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, имеем

(1)
Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрически

или, что, то же самое, в векторной форме

, длина кривой равна

(2)
Для кривой, заданной явно уравнением y=f(x), формула (1) приобретает вид

(3)
Если кривая задана в полярной системе координат, то

Поэтому

Подставляя в формулу для длины кривой, получаем

(4)

Примеры.
1. Найти длину дуги кривой y = ln(x), заключенной между точками Так как кривая задана явно, то . Делаем замену . Тогда x²=t²-1, 2x·dx=2t·dt и поэтому

2. Найти длину дуги кривой заключенной между точками t₁ = 0 и t₂ = 2π.
Так как кривая задана параметрически, то x′_i=-3·a·cos²(t)·sin(t), y′_t=3·a·sin²(t)·cos(t) и поэтому

.