Новые калькуляторы

Решение пределов

Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0, сходящейся к точке x0(lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

Например, найти предел Найти предел автоматически и бесплатно запишем как lim(x^3/exp(cosx) as x->infinity) и нажимаем равно (=).

Тот же самый предел, но при x стремится к 0. Запишем как lim(x^3/exp(cosx) as x->0) и нажимаем равно (=).

Некоторые виды записи пределов
lim(sqrt(6-x)/(x^2-9) as x->0)
lim(sqrt(6-x)/(6+2*x)^(1/3) as x->infinity)
lim((log5(1-tan(x)))/sin(x*pi) as x->pi))
lim((x^2+2*x-2/3)/(x^3+x) as x->1)
lim(((3-3*x)/(4-3*x))^(2*x+1) as x->infinity)
Примечание:
  1. число "пи" (π) записывается как pi, как infinity
  2. Пределы вида решаются с оформлением в Word (решить).
  3. Если требуется вычислить предел, используя правило Лопиталя, то необходимо воспользоваться этим калькулятором.
  4. см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.
Вычислить указанные пределы:
1. .
2.
.
3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
.
4. .
5.
.
6. – не существует, так как -1 < cos(x) < 1.
7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.
8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)
9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
; .
Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а)
Ответ: 1/5

б)
Ответ: 1/6

в)
Ответ: 1/e

г)
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x - 1) .
Найдем корни первого многочлена:
x2 +2 x - 3 = 0
D = 22 - 4 • 1 • (-3) = 16


Найдем корни второго многочлена:
x2 +0 x - 1 = 0
D = 02 - 4 • 1 • (-1) = 4

Получаем:

Ответ: 2

д)

Ответ: 1/10