Экстремум функции двух переменных

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для нахождения в онлайн режиме наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных (см. пример). Решение оформляется в формате Word.

Правила ввода функций:

Для функции трех переменных можно использовать матрицу Гессе.

Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум

Функция z = f(x,y) имеет максимум в точке M₀(x₀;y₀), если f(x₀;y₀) > f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x₀;y₀) и отличных от неё. Функция z = f(x,y) имеет минимум в точке M₀(x₀;y₀), если f(x₀;y₀) < f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x₀;y₀) и отличных от неё. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.
1. Находят частные производные dz/dx и dz/dy.
2. Решают систему уравнений:

и таким образом находят критические точки функции.
3. Находят частные производные второго порядка:

4. Вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках M(x₀;y₀).

5. Делаю вывод о наличии экстремумов:
а) если AC – B² > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;
б) если AC – B² > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;
в) если AC – B² < 0, то экстремума нет;
г) если AC – B² = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;

Пример №1. Найти экстремумы функции f(x,y)=x³+xy²+x²+y² и определить по критерию Сильвестра их тип.
Решение.
1. Найдем первые частные производные.

2. Решим систему уравнений.
3x²+2x+y²=0
2xy+2y=0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = -1
y²+1=0
Данная система уравнений не имеет решения.
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:

или

или
Откуда x₁ = -2/3; x₂ = 0; x₃ = -2/3; x₄ = 0
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y₁ = 0; y₂ = 0; y₃ = 0; y₄ = 0
Количество критических точек равно 2: M₁(-2/3;0), M₂(0;0)
3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).
Вычисляем значения для точки M₁(-2/3;0)

AC - B² = -4/3 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M₂(0;0)

AC - B² = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M₂(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0
Вывод: В точке M₂(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0