Матрица Гессе

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для нахождения матрицы Гессе и определения вида функции (выпуклая или вогнутая) (см. пример). Решение оформляется в формате Word. Для функции одной переменной f(x) определяются интервалы выпуклости и вогнутости.
f(x1,x2,x3) =
Находить в точке X0:
Правила ввода функций:
  1. Все переменные выражаются через x1,x2
  2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x12+x1x2, записываем как x1^2+x1*x2.

Дважды непрерывно дифференцируемая функция f(x) является выпуклой (вогнутой) тогда и только тогда, когда матрица Гессе функции f(x) по x положительно (отрицательно) полуопределена для всех x (см. точки локальных экстремумов функции многих переменных).

Критические точки функции:

  • если гессиан положительно определён, то x0 — точка локального минимума функции f(x),
  • если гессиан отрицательно определён, то x0 — точка локального максимума функции f(x),
  • если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден (), то x0 — седловая точка функции f(x).

Критерии определенности матрицы (теорема Сильвестра)

Положительная определенность:
  • все диагональные элементы матрицы должны быть положительны;
  • все ведущие главные определители должны быть положительны.
Для положительно полуопределённых матриц критерий Сильвестра звучит подобным образом: Форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Если матрица Гессе в точке положительно полуопределена (все главные миноры неотрицательные) то это точка минимума.

Положительная полуопределенность:

  • все диагональные элементы неотрицательны;
  • все главные определители неотрицательны.
Главный определитель – это определитель главного минора.

Квадратная симметрическая матрица порядка n, элементами которой являются частные производные целевой функции второго порядка, называется матрицей Гессе и обозначается:
Матрица Гессе
Для того, чтобы симметрическая матрица была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные миноры были положительны, т.е.

для матрицы A= (aij) положительные.

Отрицательная определенность.
Для того чтобы симметрическая матрица была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:
(-1)k Dk> 0, k =1,.., n.
Другими словами, для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус. Например, для двух переменных, D1 < 0, D2 > 0.

Если гессиан полуопределен, то это может быть и точка перегиба. Нужны дополнительные исследования, которые могут быть проведены по одному из следующих вариантов:

  1. Понижение порядка. Делается замена переменных. Например, для функции двух переменных это y=x, в итоге получаем функцию одного переменного x. Далее исследуется поведение функции на прямых y=x и y=-x. Если в первом случае функция в исследуемой точке будет иметь минимум, а в другом случае максимум (или наоборот), то исследуемая точка представляет собой седловую точку.
  2. Нахождение собственных значений гессиана. Если все значения положительные, функция в исследуемой точке имеет минимум, если все отрицательные – имеется максимум.
  3. Исследование функции f(x) в окрестности точки ε. Переменные x заменяются на x0+ε. Далее необходимо доказать, что функция f(x0+ε) от одной переменной ε, либо больше нуля (тогда x0 точка минимума), либо меньше нуля (тогда x0 точка максимума).

Примечание. Чтобы найти обратный гессиан достаточно найти обратную матрицу.

Пример №1. Какие из следующих функций являются выпуклыми или вогнутыми: f(x) = 8x12+4x1x2+5x22.
Решение. 1. Найдем частные производные.


2. Решим систему уравнений.
-4x1+4x2+2 = 0
4x1-6x2+6 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x1 и подставляем во второе уравнение:
x2 = x2+1/2
-2x2+8 = 0
Откуда x2 = 4
Данные значения x2 подставляем в выражение для x1. Получаем: x1 = 9/2
Количество критических точек равно 1.
M1(9/2;4)
3. Найдем частные производные второго порядка.



4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(9/2;4)



Строим матрицу Гессе:

D1 = a11 < 0, D2 = 8 > 0
Поскольку диагональные миноры имеют различные знаки, то о выпуклости или вогнутости функции ничего сказать нельзя.

Пример №2. Выяснить, является ли функция f(x) = 2x12 + x22 + sin(x1 + x2) выпуклой в пространстве R2.
Решение. Дважды дифференцируемая функция является выпуклой в пространстве R2, если главные угловые миноры матрицы Гессе неотрицательны. Запишем матрицу Гессе – матрицу вторых производных:

Угловые миноры соответственно равны:

Таким образом, D1> 0, D2 > 0 при всех значениях , т.е. функция f(x) выпукла.

загрузка...