Формула трапеции

Формула трапеции
Остаточный член равен или

Назначение сервиса. Сервис предназначен для онлайн вычисления определенного интеграла по формуле трапеции.

Инструкция. Введите подынтегральную функцию f(x), нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel (см. пример).

Подынтегральная функция f(x) =
Пределы интегрирования до . Точность округления
Количество интервалов разбиения n = или Шаг h =
Метод численного интегрирования функций

Вывод формулы трапеции

Пусть n=1 (две точки). Тогда из формулы (8.2.3) получаем
.
Отсюда . (8.2.5)
Это известная формула трапеций. Остаточный член равен .

Получим формулу для R. Пусть известно, что . Запишем R в виде R = R (h)
.
Дифференцируя эту формулу по h два раза, получим
,
причем R(0)=0, R'(0)=0.
Отсюда, интегрируя по h и используя теорему о среднем, последовательно выводим

где .
,
где или .
Таким образом, . (8.2.6)
Получим теперь формулу трапеций для , т.е. для функции f(x), заданной на произвольном интервале [a,b].
Пусть задана сетка {xi}, где xi=a+ih, i=0,..,n. Тогда интеграл можно записать в виде
. (8.2.7)
Остаточный член
(8.2.8)
Т.к. y'' непрерывна на [a,b], то всегда можно найти такую точку , что .
Следовательно, из (8.2.8) получим . (8.2.9)

Геометрически формула (8.2.7) получается, если график функции y=f(x) заменить ломаной.
Из формул (8.2.6) и (8.2.9) видно, что если y'' > 0, то формула трапеции (8.2.5), (8.2.7) даст значение интеграла с избытком, если y'' < 0, то – с недостатком.

Замечание. Если сетка неравномерная, то вместо формулы (8.2.7) будем иметь:
.
.

загрузка...