Решение СЛАУ методом простой итерации

Метод простой итерации относится к итерационным методам решения СЛАУ.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом простой итерации в онлайн режиме (см. пример решения). Для проверки решения генерируется шаблон в Excel.

Инструкция. Выберите количество переменных, нажмите Далее.
Количество переменных
При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.

Пример. Методом итераций решить систему линейных алгебраических уравнений предварительно приведя ее к диагональному преобладанию.
Решение. Приведем матрицу к диагональному преобладанию.
Умножаем матрицы ATA.

ATA=
80-12
05112
-121224

Умножаем матрицы ATb.
ATb=
58
-41
-88

Приведем к виду:
x1=7.25-1.5x3
x2=-0.8+0.24x3
x3=-3.67-0.5x1+0.5x2
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=7.25 - 0 • 0 - 0 • (-1.5)=7.25
x2=-0.8 - 0 • 0 - 0 • 0.24=-0.8
x3=-3.67 - 0 • (-0.5) - 0 • 0.5=-3.67
N=2
x1=7.25 - (-0.8) • 0 - (-3.67) • (-1.5)=1.75
x2=-0.8 - 7.25 • 0 - (-3.67) • 0.24=0.0588
x3=-3.67 - 7.25 • (-0.5) - (-0.8) • 0.5=0.36
N=3
x1=7.25 - 0.0588 • 0 - 0.36 • (-1.5)=7.79
x2=-0.8 - 1.75 • 0 - 0.36 • 0.24=-0.89
x3=-3.67 - 1.75 • (-0.5) - 0.0588 • 0.5=-2.82
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N x1 x2 x3 e1 e2 e3
0 0 0 0
1 7.25 -0.8 -3.67 7.25 0.8 3.67
2 1.75 0.0588 0.36 -5.5 -0.75 -3.31
3 7.79 -0.89 -2.82 6.04 0.83 2.46
4 3.02 -0.14 0.67 -4.77 -0.75 -2.15
5 8.26 -0.96 -2.09 5.24 0.82 1.41
6 4.12 -0.31 0.94 -4.14 -0.65 -1.14
7 8.67 -1.03 -1.45 4.55 0.71 0.51
8 5.07 -0.46 1.18 -3.59 -0.56 -0.27
9 9.02 -1.08 -0.9 3.95 0.62 -0.28
10 5.9 -0.59 1.38 -3.12 -0.49 0.49
11 9.33 -1.13 -0.42 3.42 0.54 -0.96
12 6.62 -0.71 1.56 -2.7 -0.42 1.14
13 9.59 -1.17 -0.00351 2.97 0.47 -1.56
14 7.24 -0.8 1.71 -2.35 -0.37 1.71
15 9.82 -1.21 0.36 2.58 0.4 -1.36
16 7.79 -0.89 1.85 -2.04 -0.32 1.49
17 10.02 -1.24 0.67 2.24 0.35 -1.18
18 8.26 -0.96 1.96 -1.77 -0.28 1.29
После N-ой итерации получаем: x1 = 7.5, x2 = -0.75, x3 = 0.25
загрузка...