Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины

В задачах 13.1 – 13.10 заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределённой случайной величины X. Требуется найти:
а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a , b );
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-а окажется меньше d.

Нормально распределенные непрерывные случайные величины встречаются в практических задачах чаще всего. Это связано, в частности, с Центральной предельной теоремой Ляпунова, которая утверждает, что если случайная величина порождена несколькими примерно равными по силе причинами, то она становится нормально (или почти нормально) распределенной.
Плотность (дифференциальная функция) нормального распределения равна , т.е. зависит от двух параметров: математического ожидания a и среднего квадратического отклонения σ. Интегральная функция нормального распределения связана с функцией Лапласа , значения которой берутся из таблиц (см.ниже). Для вычисления вероятности того, что нормально распределенная случайная величина X будет принимать значения в промежутке (α β) используется формула
.

Среднее значение или математическое ожидание a = .
Среднее квадратическое отклонение σ = или дисперсия D =
Вероятность попадания величины a в заданный интервал α = , β =
Вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше δ =

Пример задачи. Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2, а среднее квадратическое отклонение σ. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).
Решение. Воспользуемся калькулятором
.
По условию a=2, σ=5, α=1, β=4, следовательно,

Так как функция Лапласа нечетна, то Фo(-0.2) = Фo(0.2)
Таким образом, P(1 < X < 4) = Фo(0.4) + Фo(0.2).
По таблице значений функции Лапласа (см. ниже) находим: Фo(0.4)=0.155; Фo(0.2)=0.079.
Таким образом, искомая вероятность равна P(1 < X < 4) = 0.234
Задание
13.1. a=15, s =2, a =9, b =19, d =3.
13.2. a=14, s =4, a =10, b =20, d =4.
13.3. a=13, s =4, a =11, b =21, d =8.
13.4. a=12, s =5, a =12, b =22, d =10.
13.5. a=11, s =4, a =13, b =23, d =6.
13.6. a=10, s =8, a =14, b =18, d =2.
13.7. a=9, s =3, a =9, b =18, d =6.
13.8. a=8, s =4, a =8, b =12, d =8.
13.9. a=7, s =2, a =6, b =10, d =4.
13.10. a=6, s =2, a =4, b =12, d =4.

Таблица значений функции Лапласа

загрузка...