Интегрирование по частям

Пусть U(x) и V(x) - дифференцируемые функции. Тогда d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x). Поэтому U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x). Вычисляя интеграл от обеих частей последнего равенства, с учетом того, что , получаем соотношение
называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.


dx

Пример №1. Вычислить
Положим Тогда . Поэтому

Пример №2. Вычислить
Полагаем Тогда и =xsin(x) + cos(x) + C

При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать и , чтобы интеграл, полученный в правой части формулы находился легче. Положим в первом примере Тогда и Вряд ли интеграл можно считать проще исходного.
Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычислении интеграла .

В интегралах , , , где Pn(x)- некоторый полином (многочлен) степени n, обычно полагают U(x) = Pn(x), dV(x) = cos(ax)dx.
Интегралы и называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

Также рекомендуется изучить сервис вычисление интегралов онлайн

Пример №3.
Решение:

Ответ: (3x+4)sin x + 3cos x + C

загрузка...