Решение линейных дифференциальных уравнений

Назначение сервиса. Данный онлайн-калькулятор служит для решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами вида ay(n)+by+c=R(x). Например, y''-2y=0, 2y''+y'-2y=x2. Решение оформляется в формате Word (см. пример решения дифференциального уравнения). Для решения уравнений вида y'+x*y=x2 используйте этот калькулятор.
Инструкция. Для получения онлайн решения введите максимальную степень производной n. Например, для дифференциального уравнения y''-2y=0 максимальная степень равна двум, поэтому n = 2, для y'''-2y''-y=0 степень равна трем (n = 3).
Максимальная степень производной

Пример. Решить дифференциальное уравнение 8y'' +2y' - 3y = 0.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
8r2 +2r - 3 = 0
D = 22 - 4 • 8 • (-3) = 100


Корни характеристического уравнения:
r1 = 1/2
r2 = -3/4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e1/2x
y2 = e-3/4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = -6, y'(0) = 7
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = -6
Находим первую производную:
y' = 1/2•c1•e1/2•x-3/4•c2•e-3/4•x
Поскольку y'(0) = 1/2•c1-3/4•c2, то получаем второе уравнение:
1/2•c1-3/4•c2 = 7
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = -6
1/2•c1-3/4•c2 = 7
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c1 = 2, c2 = -8
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

см. также Дифференциальные уравнения. Пример решения.

Если правая часть уравнения отлична от нуля, то решение ищется по формуле: R(x)=eαx(P1cos(βx)+P2sin(βx))

R(x) Форма записи решения
10•x•e2x (Ax + B)e2x
x•e-x•cos(3x) e-x((Ax+B)cos(3x)+(Cx+D)sin(3x))
(x3-x2+3)cos(x)-x•sin(x) (Ax3+Bx2+Cx+D)cos(x)+(Ex3+Fx2+Gx+H)sin(x)
cos(x) Acos(x) + Bsinx(x)
x•sin(x) (Ax + B)cos(x) + (Cx + D)sinx(x)
x3-x2+3 Ax3+Bx2+Cx+D
загрузка...