Уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение y' +a0(x)y=b(x)yn называется уравнением Бернулли.
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 - с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на yn. Тогда Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z' + (1-n)a0(x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.

=

Пример 1. Найти общее решение уравнения y' + 2xy = 2xy3. Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z' + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2. y'+y+y2=0
y'+y = -y2

Разделим на y2
y'/y2 + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/yn-1, т.е. z = 1/y2-1 = 1/y
z = 1/y
z'= -y'/y2

Получаем: -z' + z = -1 или z' - z = 1

Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z.

загрузка...