Производная функции, заданная параметрически

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:

В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.
Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции).
Тогда y(x)=ψ(t(x)) – сложная функция и ее производная: . Производную тоже запишем в параметрической форме:
x =
y =
см. также Производная от неявной функции

Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:
Решение..

Производные высших порядков

Запишем функцию y’x в параметрической форме:
В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:
(*)
и записывали y’x тоже в параметрической форме:
К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):
.
Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т.д. Так можно получить производную от y по x любого порядка.

Пример 2. Найти y’’xx функции
Решение. Найдем y’x по формуле (*): .
Производную y’x запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):
.

Пример 3. Для функции найти y’’’xxx.
Решение. тогда и . Получаем

Еще раз применяем формулу (*):
.
Если требуется получить зависимость y’’’xxx от x, то выражаем x из соотношения x=e-t и подставляем в y’’’xxx.
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Пример 7. Найти производную первого и второго порядка функции, заданной параметрически:
.
Решение.
;
.

Далее будем искать y’’xx по формуле
.
Отсюда
.
Производную второго порядка также можно было найти по формуле
.

загрузка...