Уравнение регрессии
Уравнение парной регрессии
Решить онлайн
Примеры решений Коэффициент Спирмена Коэффициент Фехнера Множественная регрессия Нелинейная регрессия Уравнение регрессии Автокорреляция Расчет параметров тренда Ошибка аппроксимации

Парная нелинейная регрессия и корреляция

Парная нелинейная регрессия и корреляция, подбор линеаризующего преобразования (показать на конкретном примере).

Задача № 1. Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (см. таблицу).

Показатель Материалоемкость продукции по заводам
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Потреблено материалов на единицу продукции, кг., y 9 6 5 4 3,7 3,6 3,5 6 7 3,5
Выпуск продукции, тыс. ед., х 100 200 300 400 500 600 700 150 120 250
Задание
1. Найдите параметры уравнения .
2. Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции.
3. Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости продукции.
4. Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии.
Решение находим с помощью сервиса нелинейная регрессия.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.
Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ∑(yi - y*i)2 → min
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a + 0.0449 b = 51.3
0.0449 a + 0.0003 b = 0.28
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 592.31, a = 2.47
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 592.31 / x + 2.47
Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.
Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.
Коэффициент эластичности находится по формуле:


Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.
Эмпирическое корреляционное отношение.
Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < η < 0.3: слабая;
0.3 < η < 0.5: умеренная;
0.5 < η < 0.7: заметная;
0.7 < η < 0.9: высокая;
0.9 < η < 1: весьма высокая;

Индекс корреляции.
Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.


Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.
В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

1.6. Индекс детерминации.
Величину R2 (равную отношению объясненной уравнением регрессии дисперсии результата у к общей дисперсии у) для нелинейных связей называют индексом детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию индекса детерминации, его выражают в процентах.


т.е. в 89.7 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 10.3 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

1/x
y x 2 y 2 x • y y(x) (yi-ycp) 2 (y-y(x))2 (xi-xcp)2 |y - yx|:y
0.01 9 0.0001 81 0.09 8.39 14.98 0.37 3E-05 0.0676
0.005 6 2.5E-05 36 0.03 5.43 0.76 0.32 0 0.0949
0.003333 5 1.1E-05 25 0.0167 4.44 0.0169 0.31 1E-06 0.11
0.0025 4 6E-06 16 0.01 3.95 1.28 0.002539 4E-06 0.0126
0.002 3.7 4E-06 13.69 0.0074 3.65 2.04 0.002166 6E-06 0.0126
0.001667 3.6 3E-06 12.96 0.006 3.46 2.34 0.0207 8E-06 0.04
0.001429 3.5 2E-06 12.25 0.005 3.31 2.66 0.0342 9E-06 0.0529
0.006667 6 4.4E-05 36 0.04 6.42 0.76 0.17 5E-06 0.0696
0.008333 7 6.9E-05 49 0.0583 7.4 3.5 0.16 1.5E-05 0.0578
0.004 3.5 1.6E-05 12.25 0.014 4.84 2.66 1.79 0 0.38
0.0449 51.3 0.000281 294.15 0.28 51.3 30.98 3.19 7.9E-05 0.9

Задача № 2
По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств, выявлена зависимость объема выпуска продукции растениеводства (млн. руб.) у от четырех факторов: а) численности работников (чел.) L; б) количества минеральных удобрений на 1 га посева (кг.) М; в) количества осадков в период вегетации (мл.) R; г) качества почвы (баллов) Q. Получены следующие варианты уравнений регрессии и доверительные интервалы коэффициентов регрессии (таблицы 1 и 2):
1) y = 2 + 0,5L + 1,7M – 2R,   R2 = 0,77.
Таблица 1

ГраницаДоверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе
LMR
Нижняя0,1??????
Верхняя???2,3 1,5
Примечание. Доверительные интервалы построены с вероятностью P= 0,95.
2) y = 6,4 + 0,7L + 1,5L + 1,5M – 2R + 0,8Q, R2 = 0,81.
Таблица 2
ГраницаДоверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе
LMRQ
Нижняя 0,3-0,2???0,4
Верхняя??????-1,21,2
Примечание. Доверительные интервалы построены с вероятностью P=0,95.
Задание
1. Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов.
2. Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию его параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии на примере одного из факторных признаков.
3. Оцените целесообразность включения в модель y фактора Q.
Учебно-методический
√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия
Подробнее
Библиотека материалов
√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ
Подробнее
Инвестиции с JetLend

Удобный сервис для инвестора и заемщика. Инвестируйте в лучшие компании малого бизнеса по ставкам от 16,9% до 37,7% годовых.
Подробнее
Курсовые на заказ