Аналитическое выравнивание ряда по параболе

Уравнение тренда имеет вид y = at2 + bt + c.
Точечный коэффициент эластичности: . Средний коэффициент эластичности: .

Пример. 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов с помощью калькулятора Аналитическое выравнивание.
Система уравнений
Аналитическое выравнивание ряда по параболе
Для наших данных система уравнений имеет вид
Аналитическое выравнивание ряда по полиномиальной кривой второго порядка
Получаем a0 = 0.38, a1 = -11.36, a2 = 102.76
Уравнение тренда: y = 0.38t2-11.36t+102.76
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.


Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия параболической функции
Дисперсия параболической функции

Среднеквадратическое отклонение

Индекс детерминации


т.е. в 92.61 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

t y t2 y2 t•y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t))2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y t3 t4 t2 y
1 80 1 6400 80 91.78 1653.78 138.77 72.25 942.4 1 1 80
2 79 4 6241 158 81.56 1573.44 6.55 56.25 202.24 8 16 316
3 75 9 5625 225 72.1 1272.11 8.41 42.25 217.5 27 81 675
4 70 16 4900 280 63.4 940.44 43.56 30.25 462 64 256 1120
5 65 25 4225 325 55.46 658.78 91.01 20.25 620.1 125 625 1625
6 60 36 3600 360 48.28 427.11 137.36 12.25 703.2 216 1296 2160
7 39 49 1521 273 41.86 0.11 8.18 6.25 111.54 343 2401 1911
8 35 64 1225 280 36.2 18.78 1.44 2.25 42 512 4096 2240
9 30 81 900 270 31.3 87.11 1.69 0.25 39 729 6561 2430
10 25 100 625 250 27.16 205.44 4.67 0.25 54 1000 10000 2500
11 20 121 400 220 23.78 373.78 14.29 2.25 75.6 1331 14641 2420
12 10 144 100 120 21.16 860.44 124.55 6.25 111.6 1728 20736 1440
13 13 169 169 169 19.3 693.44 39.69 12.25 81.9 2197 28561 2197
14 19 196 361 266 18.2 413.44 0.64 20.25 15.2 2744 38416 3724
15 29 225 841 435 17.86 106.78 124.1 30.25 323.06 3375 50625 6525
16 14 256 196 224 18.28 641.78 18.32 42.25 59.92 4096 65536 3584
17 20 289 400 340 19.46 373.78 0.29 56.25 10.8 4913 83521 5780
18 25 324 625 450 21.4 205.44 12.96 72.25 90 5832 104976 8100
171 708 2109 38354 4725 708.54 10506 776.47 484.5 4162.06 58482 864690 97654

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда




S a = 0.307
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
102.76 + -11.36*10 + 0.38*102 - 1.746*12.13 ; 102.76 + -11.36*10 + 0.38*102 + 1.746*12.13
(15.03;39.29)

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+ L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 0.38*192 + -11.36*19 + 102.76 = 24.1
K1 = 48.37
24.1 - 48.37 = -24.27 ; 24.1 + 48.37 = 72.47
Интервальный прогноз:
t = 19: (-24.27;72.47)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.


Статистическая значимость коэффициента уравнения не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t a S a)
(-0.1561;0.9161)
(b - t b S b; b + t b S b)
(-17.1628;-5.5572)
2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
80 91.78 -11.78 138.77 0
79 81.56 -2.56 6.55 85.01
75 72.1 2.9 8.41 29.81
70 63.4 6.6 43.56 13.69
65 55.46 9.54 91.01 8.64
60 48.28 11.72 137.36 4.75
39 41.86 -2.86 8.18 212.58
35 36.2 -1.2 1.44 2.76
30 31.3 -1.3 1.69 0.01
25 27.16 -2.16 4.67 0.74
20 23.78 -3.78 14.29 2.62
10 21.16 -11.16 124.55 54.46
13 19.3 -6.3 39.69 23.62
19 18.2 0.8 0.64 50.41
29 17.86 11.14 124.1 106.92
14 18.28 -4.28 18.32 237.78
20 19.46 0.54 0.29 23.23
25 21.4 3.6 12.96 9.36
776.47 866.39



Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...