Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте

Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y = a ebt . Оно является частным случаем показательного тренда. Для расчета по МНК уравнение приводят к виду: ln y = ln a + bt

Характеристика параметра k = e экспоненциального тренда выражается в среднем ускорении изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени.

Пример. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений
Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте
Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.11, a1 = 4.47
Уравнение тренда: y = 87.61e-0.11t

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации:

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда

Средние значения


Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент детерминации: Коэффициент детерминации

т.е. в 70.77 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

t ln(y) t 2 y 2 t•y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t))2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y
1 4.38 1 19.2 4.38 4.37 0.83 0 72.25 0.06
2 4.37 4 19.09 8.74 4.26 0.81 0.01 56.25 0.47
3 4.32 9 18.64 12.95 4.16 0.72 0.03 42.25 0.7
4 4.25 16 18.05 16.99 4.05 0.61 0.04 30.25 0.84
5 4.17 25 17.43 20.87 3.94 0.5 0.05 20.25 0.96
6 4.09 36 16.76 24.57 3.84 0.39 0.07 12.25 1.04
7 3.66 49 13.42 25.64 3.73 0.04 0 6.25 0.26
8 3.56 64 12.64 28.44 3.63 0.01 0.01 2.25 0.26
9 3.4 81 11.57 30.61 3.52 0 0.01 0.25 0.41
10 3.22 100 10.36 32.19 3.42 0.06 0.04 0.25 0.64
11 3 121 8.97 32.95 3.31 0.22 0.1 2.25 0.95
12 2.3 144 5.3 27.63 3.21 1.36 0.82 6.25 2.08
13 2.56 169 6.58 33.34 3.1 0.82 0.29 12.25 1.37
14 2.94 196 8.67 41.22 2.99 0.28 0 20.25 0.15
15 3.37 225 11.34 50.51 2.89 0.01 0.23 30.25 1.61
16 2.64 256 6.96 42.22 2.78 0.69 0.02 42.25 0.38
17 3 289 8.97 50.93 2.68 0.22 0.1 56.25 0.95
18 3.22 324 10.36 57.94 2.57 0.06 0.42 72.25 2.08
171 62.45 2109 224.33 542.14 62.45 7.63 2.23 484.5 15.21

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда



S a = 0.0165

Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
87.61 e-0.11*10 - 1.746*0.65 ; 87.61 e-0.11*10 + 1.746*0.65
(29.82;31.12)

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.

Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 87.61 e-0.11*19 = 11.78
K1 = 1.3
11.78 - 1.3 = 10.48 ; 11.78 + 1.3 = 13.08

Интервальный прогноз:
t = 19: (10.48;13.08)

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.


Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t a S a)
(-0.1343;-0.0769)
(b - t b S b; b + t b S b)
(87.3017;87.9238)

2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
4.38 4.37 0.01 0 0
4.37 4.26 0.11 0.01 0.01
4.32 4.16 0.16 0.03 0
4.25 4.05 0.2 0.04 0
4.17 3.94 0.23 0.05 0
4.09 3.84 0.26 0.07 0
3.66 3.73 -0.07 0 0.11
3.56 3.63 -0.07 0.01 0
3.4 3.52 -0.12 0.01 0
3.22 3.42 -0.2 0.04 0.01
3 3.31 -0.32 0.1 0.01
2.3 3.21 -0.9 0.82 0.35
2.56 3.1 -0.54 0.29 0.14
2.94 2.99 -0.05 0 0.24
3.37 2.89 0.48 0.23 0.28
2.64 2.78 -0.14 0.02 0.39
3 2.68 0.32 0.1 0.21
3.22 2.57 0.65 0.42 0.11
0 0 0 2.23 1.85

Тест Дарбина-Уотсона

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
загрузка...