Аналитическое выравнивание ряда по гиперболе

Гиперболическое уравнение тренда имеет вид y = a/t + b. Для расчетов используют метод замены переменных и приводят уравнение к виду y = at' + b, где t' = 1/t.
Точечный коэффициент эластичности: . Средний коэффициент эластичности: .

Пример. 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов с помощью калькулятора Аналитическое выравнивание.
Система уравнений

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 80.78, a1 = 23.65
Уравнение тренда
y = 80.78 / t + 23.65
Оценим качество уравнения тренда с помощью абсолютной ошибки аппроксимации.


Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Индекс детерминации


т.е. в 56.66 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - средняя

1/t y t2 y2 t•y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t))2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y
1 80 1 6400 80 104.43 1653.78 596.61 0.65 1954.05
0.5 79 0.25 6241 39.5 64.04 1573.44 223.89 0.09 1182.07
0.33 75 0.11 5625 25 50.57 1272.11 596.61 0.02 1831.93
0.25 70 0.06 4900 17.5 43.84 940.44 684.19 0 1831
0.2 65 0.04 4225 13 39.8 658.78 634.84 0 1637.74
0.17 60 0.03 3600 10 37.11 427.11 523.88 0 1373.31
0.14 39 0.02 1521 5.57 35.19 0.11 14.53 0 148.66
0.13 35 0.02 1225 4.38 33.75 18.78 1.57 0 43.9
0.11 30 0.01 900 3.33 32.62 87.11 6.88 0.01 78.72
0.1 25 0.01 625 2.5 31.73 205.44 45.24 0.01 168.16
0.09 20 0.01 400 1.82 30.99 373.78 120.82 0.01 219.84
0.08 10 0.01 100 0.83 30.38 860.44 415.35 0.01 203.8
0.08 13 0.01 169 1 29.86 693.44 284.34 0.01 219.21
0.07 19 0.01 361 1.36 29.42 413.44 108.54 0.02 197.95
0.07 29 0 841 1.93 29.03 106.78 0 0.02 0.98
0.06 14 0 196 0.88 28.7 641.78 216.01 0.02 205.76
0.06 20 0 400 1.18 28.4 373.78 70.56 0.02 168
0.06 25 0 625 1.39 28.14 205.44 9.84 0.02 78.41
3.5 708 1.59 38354 211.16 708 10506 4553.72 0.91 11543.47


2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда




S a = 17.1358
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 0
23.65 + 80.78/0 - 1.746*29.93 ; 23.65 + 80.78/0 - 1.746*29.93
(-6.28;53.58)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+ L - точечный прогноз по модели на (n+ L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy -стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл- табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 80.78/19 + 23.65 = 27.9
K1 = 48.37
27.9 - 48.37 = -20.47 ; 27.9 + 48.37 = 76.27
Интервальный прогноз:
t = 19: (-20.47;76.27)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.


Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t a S a)
(50.8578;110.6961)
(b - t b S b; b + t bS b)
(14.7539;32.5434)
2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

 4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
80 104.43 -24.43 596.61 0
79 64.04 14.96 223.89 1551.45
75 50.57 24.43 596.61 89.55
70 43.84 26.16 684.19 3
65 39.8 25.2 634.84 0.92
60 37.11 22.89 523.88 5.32
39 35.19 3.81 14.53 363.92
35 33.75 1.25 1.57 6.54
30 32.62 -2.62 6.88 15.04
25 31.73 -6.73 45.24 16.83
20 30.99 -10.99 120.82 18.2
10 30.38 -20.38 415.35 88.14
13 29.86 -16.86 284.34 12.37
19 29.42 -10.42 108.54 41.52
29 29.03 -0.03 0 107.84
14 28.7 -14.7 216.01 215.02
20 28.4 -8.4 70.56 39.65
25 28.14 -3.14 9.84 27.71
4553.72 2603.02




Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...