Решение задачи коммивояжера

В задаче коммивояжера для формирования оптимального маршрута объезда n городов необходимо выбрать один лучший из (n-1)! вариантов по критерию времени, стоимости или длине маршрута. Эта задача связана с определением гамильтонова цикла минимальной длины. В таких случаях множество всех возможных решений следует представить в виде дерева - связного графа, не содержащего циклов и петель. Корень дерева объединяет все множество вариантов, а вершины дерева — это подмножества частично упорядоченных вариантов решений.

Назначение сервиса. С помощью сервиса можно проверить свое решение или получить новое решение задачи коммивояжёра двумя методами: методом ветвей и границ и венгерским методом.

Инструкция. Выберите размерность матрицы (количество городов). Полученное онлайн решение сохраняется в файле Word и Excel (см. пример решения задачи коммивояжера).

Скачать пример оформления

Математическая модель задачи коммивояжера

Сформулированная задача - задача целочисленная. Пусть х_ij=1, если путешественник переезжает из i-ого города в j-ый и х_ij=0, если это не так.
Формально введем (n+1) город, расположенный там же, где и первый город, т.е. расстояния от (n+1) города до любого другого, отличного от первого, равны расстояниям от первого города. При этом, если из первого города можно лишь выйти, то в (n+1) город можно лишь придти.
Введем дополнительные целые переменные, равные номеру посещения этого города на пути. u₁=0, u_n₊₁=n. Для того, чтобы избежать замкнутых путей, выйти из первого города и вернуться в (n+1) введем дополнительные ограничения, связывающие переменные x_ij и переменные u_i (u_i целые неотрицательные числа).

u_i-u_j+nx_ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, при i=1 j≠n+1
0≤u_i≤n, x_in+1=x_i1, i=2..n

Методы решения задачи коммивояжера

метод ветвей и границ (алгоритм Литтла или исключения подциклов). Пример решения методом ветвей и границ;
венгерский метод. Пример решения венгерским методом.

Алгоритм Литтла или исключения подциклов

Операция редукции по строкам: в каждой строке матрицы находят минимальный элемент d_min и вычитают его из всех элементов соответствующей строки. Нижняя граница: H=∑d_min.
Операция редукции по столбцам: в каждом столбце матрицы выбирают минимальный элемент d_min, и вычитают его из всех элементов соответствующего столбца. Нижняя граница: H=H+∑d_min.
Константа приведения H является нижней границей множества всех допустимых гамильтоновых контуров.
Поиск степеней нулей для приведенной по строкам и столбцам матрицы. Для этого временно нули в матице заменяэт на знак «∞» и находят сумму минимальных элементов строки и столбца, соответствующих этому нулю.
Выбирают дугу (i,j), для которой степень нулевого элемента достигает максимального значения.
Разбивают множество всех гамильтоновых контуров на два подмножества: подмножество гамильтоновых контуров содержащих дугу (i,j) и не содержащих ее (i*,j*). Для получения матрицы контуров, включающих дугу (i,j), вычеркивают в матрице строку i и столбец j. Чтобы не допустить образования негамильтонова контура, заменяют симметричный элемент (j,i) на знак «∞». Исключение дуги достигается заменой элемента в матрице на ∞.
Проводят приведение матрицы гамильтоновых контуров с поиском констант приведения H(i,j) и H(i*,j*).
Сравнивают нижние границы подмножества гамильтоновых контуров H(i,j) и H(i*,j*). Если H(i,j)<H(i*,j*), то дальнейшему ветвлению в первую очередь подлежит множество (i,j), иначе - разбиению подлежит множество (i*,j*).
Если в результате ветвлений получается матрица (2x2), то определяют полученный ветвлением гамильтонов контур и его длину.
Сравнивают длину гамильтонова контура с нижними границами оборванных ветвей. Если длина контура не превышает их нижних границ, то задача решена. В противном случае развивают ветви подмножеств с нижней границей, меньшей полученного контура, до тех пор, пока не получится маршрут с меньшей длиной.

Пример. Решить по алгоритму Литтла задачу коммивояжера с матрицей

	1	2	3	4	5
1	M	20	18	12	8
2	5	M	14	7	11
3	12	18	M	6	11
4	11	17	11	M	12
5	5	5	5	5	M

Решение. Возьмем в качестве произвольного маршрута: X₀ = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Тогда F(X₀) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Для определения нижней границы множества воспользуемся операцией редукции или приведения матрицы по строкам, для чего необходимо в каждой строке матрицы D найти минимальный элемент: d_i = min(j) d_ij

i j	1	2	3	4	5	d_i
1	M	20	18	12	8	8
2	5	M	14	7	11	5
3	12	18	M	6	11	6
4	11	17	11	M	12	11
5	5	5	5	5	M	5

Затем вычитаем d_i из элементов рассматриваемой строки. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

i j	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	0	0	0	M

Такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:
d_j = min(i) d_ij

i j	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	0	0	0	M
d_j	0	0	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу, где величины d_i и d_j называются константами приведения.

i j	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	0	0	0	M

Сумма констант приведения определяет нижнюю границу H: H = ∑d_i + ∑d_j = 8+5+6+11+5+0+0+0+0+0 = 35
Элементы матрицы d_ij соответствуют расстоянию от пункта i до пункта j.
Поскольку в матрице n городов, то D является матрицей nxn с неотрицательными элементами d_ij ≥ 0
Каждый допустимый маршрут представляет собой цикл, по которому коммивояжер посещает город только один раз и возвращается в исходный город.
Длина маршрута определяется выражением: F(M_k) = ∑d_ij
Причем каждая строка и столбец входят в маршрут только один раз с элементом d_ij.
Шаг №1.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	2	3	4	5	d_i
1	M	12	10	4	0(5)	4
2	0(2)	M	9	2	6	2
3	6	12	M	0(5)	5	5
4	0(0)	6	0(0)	M	1	0
5	0(0)	0(6)	0(0)	0(0)	M	0
d_j	0	6	0	0	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,3) = 0 + 0 = 0; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,2) = 0 + 6 = 6; d(5,3) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 6) = 6 для ребра (5,2), следовательно, множество разбивается на два подмножества (5,2) и (5*,2*).
Исключение ребра (5,2) проводим путем замены элемента d₅₂ = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (5*,2*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	4	5	d_i
1	M	12	10	4	0	0
2	0	M	9	2	6	0
3	6	12	M	0	5	0
4	0	6	0	M	1	0
5	0	M	0	0	M	0
d_j	0	6	0	0	0	6

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества: H(5*,2*) = 35 + 6 = 41
Включение ребра (5,2) проводится путем исключения всех элементов 5-ой строки и 2-го столбца, в которой элемент d₂₅ заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (4 x 4), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	3	4	5	d_i
1	M	10	4	0	0
2	0	9	2	M	0
3	6	M	0	5	0
4	0	0	M	1	0
d_j	0	0	0	0	0

Сумма констант приведения сокращенной матрицы: ∑d_i + ∑d_j = 0
Нижняя граница подмножества (5,2) равна: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Поскольку нижняя граница этого подмножества (5,2) меньше, чем подмножества (5*,2*), то ребро (5,2) включаем в маршрут с новой границей H = 35
Шаг №2.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	3	4	5	d_i
1	M	10	4	0(5)	4
2	0(2)	9	2	M	2
3	6	M	0(7)	5	5
4	0(0)	0(9)	M	1	0
d_j	0	9	2	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 2 = 7; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,3) = 0 + 9 = 9;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 9) = 9 для ребра (4,3), следовательно, множество разбивается на два подмножества (4,3) и (4*,3*).
Исключение ребра (4,3) проводим путем замены элемента d₄₃ = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (4*,3*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	3	4	5	d_i
1	M	10	4	0	0
2	0	9	2	M	0
3	6	M	0	5	0
4	0	M	M	1	0
d_j	0	9	0	0	9

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества: H(4*,3*) = 35 + 9 = 44
Включение ребра (4,3) проводится путем исключения всех элементов 4-ой строки и 3-го столбца, в которой элемент d₃₄ заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (3 x 3), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	4	5	d_i
1	M	4	0	0
2	0	2	M	0
3	6	M	5	5
d_j	0	2	0	7

Сумма констант приведения сокращенной матрицы: ∑d_i + ∑d_j = 7
Нижняя граница подмножества (4,3) равна: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Поскольку 42 > 41, исключаем подмножество (5,2) для дальнейшего ветвления.
Возвращаемся к прежнему плану X₁.
План X₁.

i j	1	2	3	4	5
1	M	12	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	12	M	0	5
4	0	6	0	M	1
5	0	M	0	0	M

Операция редукции.

i j	1	2	3	4	5
1	M	6	10	4	0
2	0	M	9	2	6
3	6	6	M	0	5
4	0	0	0	M	1
5	0	M	0	0	M

Шаг №1.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	2	3	4	5	d_i
1	M	6	10	4	0(5)	4
2	0(2)	M	9	2	6	2
3	6	6	M	0(5)	5	5
4	0(0)	0(6)	0(0)	M	1	0
5	0(0)	M	0(0)	0(0)	M	0
d_j	0	6	0	0	1	0

d(1,5) = 4 + 1 = 5; d(2,1) = 2 + 0 = 2; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(4,1) = 0 + 0 = 0; d(4,2) = 0 + 6 = 6; d(4,3) = 0 + 0 = 0; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,3) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 6) = 6 для ребра (4,2), следовательно, множество разбивается на два подмножества (4,2) и (4*,2*).
Исключение ребра (4,2) проводим путем замены элемента d₄₂ = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (4*,2*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	4	5	d_i
1	M	6	10	4	0	0
2	0	M	9	2	6	0
3	6	6	M	0	5	0
4	0	M	0	M	1	0
5	0	M	0	0	M	0
d_j	0	6	0	0	0	6

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества: H(4*,2*) = 41 + 6 = 47
Включение ребра (4,2) проводится путем исключения всех элементов 4-ой строки и 2-го столбца, в которой элемент d₂₄ заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (4 x 4), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	3	4	5	d_i
1	M	10	4	0	0
2	0	9	M	6	0
3	6	M	0	5	0
5	0	0	0	M	0
d_j	0	0	0	0	0

Сумма констант приведения сокращенной матрицы: ∑d_i + ∑d_j = 0
Нижняя граница подмножества (4,2) равна: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Поскольку нижняя граница этого подмножества (4,2) меньше, чем подмножества (4*,2*), то ребро (4,2) включаем в маршрут с новой границей H = 41
Шаг №2.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	3	4	5	d_i
1	M	10	4	0(9)	4
2	0(6)	9	M	6	6
3	6	M	0(5)	5	5
5	0(0)	0(9)	0(0)	M	0
d_j	0	9	0	5	0

d(1,5) = 4 + 5 = 9; d(2,1) = 6 + 0 = 6; d(3,4) = 5 + 0 = 5; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,3) = 0 + 9 = 9; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
Наибольшая сумма констант приведения равна (4 + 5) = 9 для ребра (1,5), следовательно, множество разбивается на два подмножества (1,5) и (1*,5*).
Исключение ребра (1,5) проводим путем замены элемента d₁₅ = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (1*,5*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	3	4	5	d_i
1	M	10	4	M	4
2	0	9	M	6	0
3	6	M	0	5	0
5	0	0	0	M	0
d_j	0	0	0	5	9

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества: H(1*,5*) = 41 + 9 = 50
Включение ребра (1,5) проводится путем исключения всех элементов 1-ой строки и 5-го столбца, в которой элемент d₅₁ заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (3 x 3), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	3	4	d_i
2	0	9	M	0
3	6	M	0	0
5	M	0	0	0
d_j	0	0	0	0

Сумма констант приведения сокращенной матрицы: ∑d_i + ∑d_j = 0
Нижняя граница подмножества (1,5) равна: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Поскольку нижняя граница этого подмножества (1,5) меньше, чем подмножества (1*,5*), то ребро (1,5) включаем в маршрут с новой границей H = 41
Шаг №3.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	3	4	d_i
2	0(15)	9	M	9
3	6	M	0(6)	6
5	M	0(9)	0(0)	0
d_j	6	9	0	0

d(2,1) = 9 + 6 = 15; d(3,4) = 6 + 0 = 6; d(5,3) = 0 + 9 = 9; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
Наибольшая сумма констант приведения равна (9 + 6) = 15 для ребра (2,1), следовательно, множество разбивается на два подмножества (2,1) и (2*,1*).
Исключение ребра (2,1) проводим путем замены элемента d₂₁ = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (2*,1*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	3	4	d_i
2	M	9	M	9
3	6	M	0	0
5	M	0	0	0
d_j	6	0	0	15

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества: H(2*,1*) = 41 + 15 = 56
Включение ребра (2,1) проводится путем исключения всех элементов 2-ой строки и 1-го столбца, в которой элемент d₁₂ заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (2 x 2), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	3	4	d_i
3	M	0	0
5	0	0	0
d_j	0	0	0

Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
∑d_i + ∑d_j = 0
Нижняя граница подмножества (2,1) равна: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Поскольку нижняя граница этого подмножества (2,1) меньше, чем подмножества (2*,1*), то ребро (2,1) включаем в маршрут с новой границей H = 41.
В соответствии с этой матрицей включаем в гамильтонов маршрут ребра (3,4) и (5,3).
В результате по дереву ветвлений гамильтонов цикл образуют ребра:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Длина маршрута равна F(Mk) = 41

Дерево решений.

Начало

(5*,2*), H=41

(5,2)

H = 35

(4*,2*), H=47

(4,2)

H = 41

(4*,3*), H=44

(4,3)

H = 42

(1*,5*), H=50

(1,5)

H = 41

(2*,1*), H=56

(2,1)

H = 41

(3,4)

H = 41

(3*,4*), H=41

(5,3)

H = 41

(5*,3*), H=41

Решение задачи коммивояжера

Математическая модель задачи коммивояжера

Методы решения задачи коммивояжера

Алгоритм Литтла или исключения подциклов

Правила ввода данных

Поиск

Процесс

Сообщение