Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн
Уравнения Бернулли xydx + (x+1)dy = 0 y'' - 3y' + 2y = 0 (y')2+2yy'' = 0
Пределы онлайн Системы дифф уравнений Метод вариации постоянной

Решение дифференциальных уравнений

Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и некоторое количество ее производных, т.е. уравнение вида
F(x,y,y') = 0
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.
Например, решить дифференциальное уравнение онлайн: y''-2y+1=sinx. Записываем как y''-2*y+1=sin(x). Для отображение хода решения нажмите Show steps или Step-by-step.
Если определить тип дифференциального уравнения, то решение будет доступно в MS Word:

типа y'+2*y=4*x, x*y’-y=3*x^2-3, , , либо задача Коши.
типа 2xydx+x2dy=0, 2xydx=(x2-y2)dy или с разделяющимися переменными.
типа y'+2xy=2xy3, , xy’+2y+x5y3ex=0
типа y''+2*y-8=x, 2*y''-3*y-8=x*cos(x).
: x3y''+x2y'=1, (y')2+2yy''=0.
при y() = .

Способы решений дифференциальных уравнений

  1. Уравнения с разделяющимися переменными: y'=ex+y, xydx+(x+1)dy=0
  2. Однородные уравнения: (y2-2xy)dx+x2dy=0
  3. Постановка задачи о выделении решений.
  4. Калькулятор Линейные уравнения первого порядка: y'+2y=4x
  5. Уравнения Бернулли: y'+2xy=2xy3,
  6. Уравнения в полных дифференциалах: 2xydx+x2dy=0, 2xydx=(x2-y2)dy=0.
  7. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
  8. Уравнения высших порядков
  9. Системы дифференциальных уравнений:
    Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
    Метод вариации произвольной постоянной

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения y'+xy=1, удовлетворяющего начальному условию y(0)=2.
Решение.
Данное дифференциальное уравнение – уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y.
Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену y(x) = u(x)·v(x), где u(x) и v(x) – неизвестные функции, которые мы будем искать поочередно.
Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:
y′ = u′·v+u·v′.
Подставляя выражения для y и y' в исходное уравнение, получим:
u′·v+u·v′ + x·u·v = 1 (*)
Отсюда
u′·v + (u·v′ + x·u·v) = 1;
u′·v + u(v′ + x·v) = 1;
Выражение в скобках зависит только от v(x). Будем искать v(x), исходя из условия:
v′ + x·v = 0.
Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное решение для v(x) методом разделения переменных:
; ;
Переходим к интегралу:
; ; .
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*):
; .
Найдём теперь общее решение для неизвестной функции u(x):
.
Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального уравнения:
.
Теперь, используем данное начальное условие и найдём частное решение уравнения:
y(0) = c·e0+1 = c+1 = 2
Отсюда c=1,
Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид: .