Математический анализ

Линейная алгебра

1. Определитель матрицы.
2. Матричный калькулятор: 3A-BC+A-1
3. Методы решения системы уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы и другие.
4. Координаты вектора в новом базисе. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
6. Собственные числа матрицы
7. Выделение полного квадрата (a•x² + b•x + c = 0)
8. Метод неопределенных коэффициентов (преобразовать в сумму простейших дробей):
9. Формула дискриминанта. Данный вид калькулятора используется для нахождения дискриминанта и корней функции.
10. Деление многочленов столбиком. Данная процедура, в частности, поможет при нахождении интегралов.
11. Решение пределов.

Комплексные числа

1. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
2. Извлечение корня из комплексных чисел используется, например, при нахождении уравнений типа w3 - z = 0.

Дифференциальное исчисление

1. Найти производную (Таблица производных) cosx + e^sinx+x3x
2. Дифференциал функции
3. Правило Лопиталя при вычислении пределов.
4. Уравнение касательной к графику функции, уравнение нормали
5. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной. Калькулятор вычисляет экстремум функции. Интервалы возрастания и убывания функции. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.
6. Асимптоты функции. Определение наклонных, вертикальных и горизонтальных асимптот.
7. Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения: , .
2. Линейные дифференциальные уравнения (решение однородных дифференциальных уравнений y''-2y'+y = e2x)

Интегральное исчисление

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями:
2. Вычисление интегралов (Таблица интегралов)
3. Работа силы при перемещении вдоль дуги линии: Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M₀ до точки M₁.

Степенные ряды

1. Определить сходимость или расходимость ряда
2. Определить область сходимости степенного ряда
3. Разложить в ряд Тейлора
4. Разложение функции в ряд Фурье: Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1+x на отрезке [-1, 1]. Построить графики частичных сумм S₀, S₁, S₂.

С помощью сервиса WolframAlpha можно бесплатно решать многие математические задачи. Решение бесплатное и автоматическое с возможностью сохранять результаты вычислений в формате pdf. Есть возможность показать ход решения (Show steps).

Найти корни уравнения	x2 - 3x + 4 = 0
Разложить на множители	x2 - 3x + 4 = 0

Типовые примеры задач математического анализа

Задача 1. Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя.
Пределы
а)
Решение.
Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞.

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Для нашего примера: f(x) = 1-(cos(x))2, g(x) = x+sin(2•x)
Находим первую производную: f'(x) = 2•cos(x)•sin(x), g'(x) = 1+2•cos(2•x)

б)
Решение.

Для нашего примера:
f(x) = ln(sin(x))
g(x) = (2•x-π)²
Находим первую производную
f'(x) = cos(x)/sin(x)
g'(x) = -4•π+8•x

Находим вторую производную
f''(x) = -1-cos²(x)/sin²(x)
g''(x) = 8

в)
г) .

Задача 2. Провести полное исследование и построить графики функций.
Функции
а) ;
Решение ищем по схеме:

1. выяснение области определения функции;
2. определение четности или нечетности функции;
3. исследуется периодичность функции;
4. расчет точек пересечения кривой с осями координат;
5. находят точки разрыва функции и определяют их характер;
6. исследования на экстремум;
   Находим первую производную функции:
   
   или
   
   Приравниваем ее к нулю:
   
   x₁ = -1
   x₂ = 1
   Вычисляем значения функции
   f(-1) = ^-1/₂
   f(1) = ¹/₂
   Ответ:
   f_min = ^-1/₂, f_max = ¹/₂
   Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
   
   или
   
   Вычисляем:
   y''(-1) = ¹/₂>0 - значит точка x = -1 точка минимума функции.
   y''(1) = ^-1/₂<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.
7. поиск точек перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой;
8. расчет асимптот кривой;
   Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
   
   Находим коэффициент k:
   
   
   Находим коэффициент b:
   
   
   Получаем уравнение горизонтальной асимптоты: y = 0
9. строят график исследуемой функции.
   
   

Задача 3. Дано скалярное поле.
1) Составить уравнение линии u = C и построить её график.
2) Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля u=u(x;y) в точке A по направлению вектора .
3) Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке A.

	С	Координаты т. А	Координаты т. В
	4

Задача 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
Уравнения линий
y = -4x3; x=0; y=4

Задание 5. Найти общее решение дифференциального уравнения. Сделать проверку.
y′+2xy=3x²e^-x2

Задание 6. Известно, что рыночный спрос Q и предложение S на некоторый товар линейно зависит от цены p: S=ap+b, Q=cp+d, где a, b, c, d-некоторые положительные постоянные. Исследование рынка показало, что скорость изменения цены пропорциональна превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности y. Напишите дифференциальное уравнение, характеризующее зависимость цены от времени t, и решите его при условии, что начальная цена товара имела значение p(0)=0,25.

Задание 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
y″-7y′+10y=0, y(0)=2, y′(0)=-1

Задание 8. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y″-2y′=3x²+1

Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
x²y″-ln(x)=0