Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
см. также Решение линейных дифференциальных уравнений онлайнПоиск фундаментальной системы решений в общем случае является достаточно трудной задачей. Тем не менее, есть класс уравнений, для которого эта задача достаточно легко решается.
an(x)·y(n)+an-1(x)·y(n-1)+ ... + a1(x)·y′+a0(x)·y=b(x)
, (*)
Линейное дифференциальное уравнение (*) назовём уравнением с постоянными коэффициентами, если в этом уравнении коэффициенты постоянны, то есть ai(x)=const. Тогда соответствующее однородное уравнение L(y)=0 будет иметь вид
. (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде y = erx. Тогда y' = r·erx, y'' = r2·erx,…, y(n) = rn·erx. Подставляя в (6), получаем
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image017.gif)
Так как erxнигде в нуль не обращается, то
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image018.gif)
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема. Функция y = erx является решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6) тогда и только тогда, когда r есть корень характеристического уравнения (7).
Возможны ниже следующие случаи.
1. Все корни характеристического многочлена вещественны и различны. Обозначим их r1,r2,…,rn. Тогда получим n различных решений
y1 = er1x, y2 = er2x,…, yn = ernx (8)
уравнения (6). Докажем, что полученная система решений линейно независима. Рассмотрим её определитель Вронского
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image019.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image020.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image021.gif)
Множитель e(r1+r2+..+rn)x в правой части W(er1x, er2x,…, ernx) нигде в нуль не обращается. Поэтому осталось показать, что второй сомножитель (определитель) не равен нулю. Допустим, что
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image022.gif)
Тогда строки этого определителя линейно зависимы, т. е. существуют числа α1, α2, …, αn такие, что
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image023.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image024.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image025.gif)
Таким образом, мы получили, что ri, i = 1,2,..,n есть n различных корней полинома (n-1)-й степени, что невозможно. Следовательно, определитель в правой части W(er1x, er2x,…, ernx) не равен нулю и система функций (8) образует фундаментальную систему решений уравнения (6) в случае, когда корни характеристичес-кого уравнения различны.
Пример №1. Для уравнения y''-3y' + 2y=0 корни характеристического уравнения r2 - 3r + 2 = 0 равны r1 = 1, r2 = 2 (корни были найдены через сервис нахождения дискриминанта). Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции y1 = ex, y2 = e2x, а общее решение записывается в виде y = C1ex + C2e2x.
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Предположим, что r1 имеет кратность α, а все остальные различны. Рассмотрим вначале случай r1 = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
an(x)·rn+an-1(x)·rn-1+ ... + an-α(x)·rα=0
так как в противном случае r не являлось бы корнем кратности α. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид:
an(x)·y(n)+an-1(x)·y(n-1)+ ... + an-α(x)·yα=0
то есть не содержит производных порядка ниже α. Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные порядка α и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все полиномы степени не выше α-1, например,
1, x, x2, …, x α-1. (9)
Покажем, что данная система линейно независима. Составив определитель Вронского этой системы функций, получим
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image029.gif)
Это определитель треугольного вида с отличными от нуля элементами, стоящими на главной диагонали. Поэтому он отличен от нуля, что и доказывает линейную независимость системы функций (9). Заметим, что в одном из примеров предыдущего параграфа мы доказывали линейную независимость системы функций (9) другим способом. Пусть теперь корнем характеристического уравнения кратности α является число r1≠0. Произведём в уравнении (6) L(y) = 0 замену y = zer1x = z exp(r1x). Тогда
y′=(z′+r1·z)·er1·x, y″=(z″+2r1·z′+r1²·z)·er1·x
и так далее. Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, снова получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image033.gif)
с характеристическим уравнением
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image034.gif)
Отметим, что если k - корень характеристического уравнения (1), то z = ekx- решение уравнения (0), а y = yer1x = e(k+r1)x является решением уравнения (6). Тогда r=k+r1- корень характеристического уравнения (7). С другой стороны, уравнение (6) может быть получено из уравнения (0) обратной заменой z = ye-r1x и поэтому каждому корню характеристического уравнения (7) соответствует корень k = r - r1 характеристического уравнения (1). Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между корнями характеристических уравнений (7) и (1), причём различным корням одного уравнения соответствуют различные корни другого. Так как r = r1- корень кратности α уравнения (7), то уравнение (1) имеет k=0 корнем кратности α. По доказанному ранее, уравнение (0) имеет α линейно независимых решений
z1=1, z2=x, z3=x², ..., zα=xα-1
которым соответствует α линейно независимых решений
y1=er1·x, y2=x·er1·x, y3=x²·er1·x, ... , yα=xα-1·er1·x, (2)
уравнения (7). Присоединяя полученную систему решений (2) к n- α решениям, соответствующим остальным корням характеристического уравнения, получим фундаментальную систему решений для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае наличия кратных корней.
Пример №2. Для уравнения y'''-4y''+4y' = 0 характеристическое уравнение r3 -4r2 + 4r = 0 имеет корни r=0 кратности 1 и r=2 кратности 2, так как r3 -4r2 + 4r = r(r-2)2, поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y1 = 1, y2 = e2x, y3 = xe2x, а общее решение имеет вид y = C1 + C2e2x + C3xe2x .
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Можно рассматривать комплексные решения, но для уравнений с действительными коэффициентами это не очень удобно. Найдём действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного корня rj = a+bi кратности α характеристического уравнения комплексно сопряжённое ему число rk = a-bi также является корнем кратности α этого уравнения. Соответствующими этим корням парами решений являются функции yjl=xl·e(a+b·i)x и ykl=xl·e(a-b·i)x, l=0,1,.., α-1. Вместо этих решений рассмотрим их линейные комбинации
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image040.gif)
l=0,1,.., α-1, которые также являются решениями уравнения L(y)=0 Так как преобразование, осуществляющее переход от yjl, ykl к
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image042.gif)
Примеры
1. Для уравнения y''-2y'+5y = 0 корни характеристического уравнения r2 - 2r + 5=0 равны
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image043.gif)
2. Для уравнения y'''-4y''+13y' = 0 корни характеристического уравнения r3-4r2+13r=0 равны r1=0,
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d1_image044.gif)
3. Для уравнения y(4) + 8y'' + 16y =0 характеристическое уравнение r4+8r2+16=0 имеет r1 = 2i, r2 = -2i кратности 2, так как r4+8r2+16= (r2 + 4)2, поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y1 = cos2x, y2 = sin2x, y3 = xcos2x, y4 = xsin2x, а общее решение имеет вид y = C1cos2x+ C2sin2x+ C3xcos2x+ C4xsin2x.