Определитель матрицы
Найти определитель матрицы
Решить онлайн
Примеры решений Ранг матрицы Метод Гаусса Обратная матрица Умножение матриц Скалярное произведение Производная онлайн Линейная алгебра онлайн Правило треугольника Метод обратной матрицы

Определитель матрицы

Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. Формула определителя, где i0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i0.

Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word. Дополнительно создается шаблон решения в Excel.

Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.
Размерность матрицы

Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу. Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Матричный калькулятор

Алгебра и геометрия
Длина вектора Уравнение прямой Расстояние от точки до прямой Проекция вектора Угол между двумя плоскостями

Алгоритм нахождения определителя

  1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a11*a22-a12*a21
  2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса.
  3. Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).
Для вычисления определителя, содержащего в матрице функции, применяются стандартные методы. Например, вычислить определитель матрицы 3 порядка:
определитель содержит в матрице функции
Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)×[cos(x)×2 – 0×tg(x)] + 1×[1×0-2×cos(x)] = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Оптимальный план вычисления определителя через алгебраические дополнения

При расчете определителя с помощью алгебраических дополнений для матриц размерностью n>4, чтобы не делать избыточные вычисления, можно предварительно находить индекс строки или столбца, в котором присутствуют максимальное количество нулей.
Например для матрицы:
A =
54-25
2001
0102
-200-1
наибольшее количество нулей в 3-м столбце, поэтому расскладываем по i=3. Минор для (1,3):
Δ1,3 =
201
012
-20-1
Найдем определитель для этого минора.
1,3 = 2*(1*(-1)-0*2)-0+(-2)*(0*2-1*1) = 0
Определитель:
∆ = (-1)1+3*(-2)*0 = -2*0 = 0

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса. Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:
  1. вычисление определителя методом понижения порядка
  2. вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).
  3. вычисление определителя методом декомпозиции.

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД(диапазон ячеек).

Прикладное использование определителей

Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы.
  1. Решение СЛАУ. Если определитель системы не равен нулю (Δ ≠ 0), система имеет решение.
  2. При вычислении ранга матрицы также требуется наличие минора (текущего определителя для i-ой строки и j-го столбца), не равного нулю.
  3. Алгоритм нахождения обратной матрицы включает расчет определителя: если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует.
  4. Определитель используется при вычислении площади треугольника: Площадь треугольника.
  5. Значение определителя служить оценкой при максимизации удельного показателя перевозок.
  6. По знаку определителя устанавливают вид функции (выпуклая или вогнутая) при расчете матрицы Гессе.
  7. Отношение определителей корреляционных матриц позволяет находить множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.
Иногда требуется найти неизвестный параметр a, при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников) и, приравняв его к 0, вычислить параметр a.
112
3a1
10-2
Используем разложение по первой строке:
Δ = 1(a*(-2)-0*1) -1(3*(-2)-1*1) + 2(3*0-1*a) = -2a+7-2a = -4a+7 = 0. Откуда a=7/4

Пример. Найти определитель матрицы:

A =
10-2
321
12-2

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
10-2
3 2 1
1 2 -2

Получаем:
1,1 =
21
2-2

Найдем определитель для этого минора. 1,1 = (2 • (-2)-2 • 1) = -6.

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

1 0 -2
321
1 2 -2
Получаем:
2,1 =
0-2
2-2
Найдем определитель для этого минора.2,1 = (0 • (-2)-2 • (-2)) = 4. Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
1 0 -2
3 2 1
12-2

Получаем:
3,1 =
0-2
21

Найдем определитель для этого минора.3,1 = (0 • 1-2 • (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 • (-6)-3 • 4+1 • 4) = -14

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.

10-2
3 2 1
1 2 -2

Получаем:
1,1 =
21
2-2

Найдем определитель для этого минора.1,1 = (2 • (-2)-2 • 1) = -6. Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.
10-2
32 1
12 -2
Получаем:
2,1 =
31
1-2
Вычислим определитель для этого минора.1,2 = (3 • (-2)-1 • 1) = -7. И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец.
10-2
3 21
1 2-2

Получаем:
3,1 =
32
12
Найдем определитель для этого минора. 1,3 = (3 • 2-1 • 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 • (-6)-0 • (-7)+(-2 • 4)) = -14
График функции
Построение графика функции методом дифференциального исчисленияПостроение графика функции методом дифференциального исчисления
Решить онлайн
Матрицы
Действия над матрицами: умножение, сложение, вычитание
Действия над матрицами
Решить онлайн
Экстремумы функции
Найти минимальное и максимальное значение функции
наибольшее и наименьшее значение функции
Решить онлайн