Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Обратная матрица Метод Гаусса
Производная онлайн Определитель матрицы Экстремум функции
Линейная алгебра онлайн Правило Саррюса Метод обратной матрицы

Вычисление определителей методом Гаусса

Применим метод Гаусса для вычисления определителя ∆. При решении системы уравнений:
Ax = b

методом Гаусса мы путём преобразования по схеме единственного деления привели её к треугольному виду:
B x = β,

где   
Определитель detB = 1.
Элементы матрицы B получились из матрицы A с помощью следующих элементарных преобразований:
1) деления на ведущие элементы a11 матрицы A ,  матрицы ,..., матрицы An-1.
2) вычитания из строк матрицы A и промежуточных матриц  чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.
При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий ведущий элемент, т.е.
.
Следовательно:
Определитель методом Гаусса,
т.е. определитель равен произведению ведущих элементов для соответствующей схемы Гаусса.
При второй операции определитель не изменится.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример. Данную матрицу свести к треугольной и найти определитель.

2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
0 1 5 3 -2
5 3 0 1 0
Работаем со столбцом №1
Добавим 5-ую строку к 4-ой:
2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
5 4 5 4 -2
5 3 0 1 0
Умножим 4-ую строку на (k = -5 / 5 = -1) и добавим к 5-ой:
2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
5 4 5 4 -2
0 -1 -5 -3 2
Умножим 3-ую строку на (k = -5 / 6 = -5/6) и добавим к 4-ой:
2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 -1 -5 -3 2
Умножим 2-ую строку на (k = 6 / 1 = 6) и добавим к 3-ой:
2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
0 23 4 6 -10
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 -1 -5 -3 2
Умножим 1-ую строку на (k = 1 / 2 = 1/2) и добавим к 2-ой:
2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 23 4 6 -10
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 -1 -5 -3 2
Работаем со столбцом №2
Умножим 4-ую строку на (k = -1 / 1/6 = -6) и добавим к 5-ой:
2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 23 4 6 -10
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 0 -15 -27 24
Умножим 3-ую строку на (k = 1/6 / 23 = 1/138) и добавим к 4-ой:
2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 23 4 6 -10
0 0 39/23 93/23 -86/23
0 0 -15 -27 24
Умножим 2-ую строку на (k = -23 / 6 = -23/6) и добавим к 3-ой:
2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 39/23 93/23 -86/23
0 0 -15 -27 24
Работаем со столбцом №3
Умножим 4-ую строку на (k = 15 / 39/23 = 115/13) и добавим к 5-ой:
2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 39/23 93/23 -86/23
0 0 0 114/13 -118/13
Умножим 3-ую строку на (k = 39/23 / 67/12 = 468/1541) и добавим к 4-ой:
2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 0 198/67 -376/67
0 0 0 114/13 -118/13
Работаем со столбцом №4
Умножим 4-ую строку на (k = -114/13 / 198/67 = -1273/429) и добавим к 5-ой:
2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 0 198/67 -376/67
0 0 0 0 250/33

Ранг матрицы равен r=5
Определитель матрицы ∆ = 2 • 6 • (-67/12) • 198/67250/33 = -1500