Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Обратная матрица Метод Гаусса
Производная онлайн Определитель матрицы Экстремум функции
Линейная алгебра онлайн Правило Саррюса Метод обратной матрицы

Вычисление определителя разложением по столбцу

Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по столбцу.
Решение находим с помощью калькулятора.
Запишем матрицу в виде:
A =
2-10
-12-1
0-11

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 1

Получаем:
1,1 =
2-1
-11

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 1-(-1 • (-1))) = 1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 1

Получаем:
2,1 =
-10
-11

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (-1 • 1-(-1 • 0)) = -1
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 1

Получаем:
3,1 =
-10
2-1

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = (-1 • (-1)-2 • 0) = 1
Главный определитель:
∆ = (2 • 1-(-1 • (-1))+0 • 1) = 1

Задание №2. Вычислить определитель четвертого порядка.
Решение.
Исходную матрицу запишем в виде:

A =
0111
1011
1110
1110

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и первой строки (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
1,1 =
011
110
110

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 0 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
2,1 =
111
110
110

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 1 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и третьей строки (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
3,1 =
111
011
110

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
Минор для (4,1):
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
4,1 =
111
011
110

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
В итоге основной определитель находим как:
∆ = (0 • 0-1 • 0+1 • (-1)-1 • (-1)) = 0

Примеры:
B = a11•a22•a33 - a11•a32•a23 - a12•a21•a33 + a12•a31•a23 + a13•a21•a32 - a13•a31•a22
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

145
0-25
002,5
=

= 1•(-2)•2.5 - 1•5•0 - 0•4•2.5 + 0•5•0 + 0•4•5 - 0•5•(-2) = -5