Вычисление определителя разложением по столбцу
Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по столбцу.Решение находим с помощью калькулятора.
Запишем матрицу в виде:
| A = |
|
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
| 2 | -1 | 0 |
| -1 | 2 | -1 |
| 0 | -1 | 1 |
| ∆ 1,1 = |
|
∆1,1 = (2 • 1-(-1 • (-1))) = 1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
| 2 | -1 | 0 |
| -1 | 2 | -1 |
| 0 | -1 | 1 |
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,1 = (-1 • 1-(-1 • 0)) = -1
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
| 2 | -1 | 0 |
| -1 | 2 | -1 |
| 0 | -1 | 1 |
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,1 = (-1 • (-1)-2 • 0) = 1
Главный определитель:
∆ = (2 • 1-(-1 • (-1))+0 • 1) = 1
Задание №2. Вычислить определитель четвертого порядка.
Решение.
Исходную матрицу запишем в виде:
| A = |
|
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и первой строки (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| ∆ 1,1 = |
|
∆1,1 = 0 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,1 = 1 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и третьей строки (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
Минор для (4,1):
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец.
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| ∆ 4,1 = |
|
∆4,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
В итоге основной определитель находим как:
∆ = (0 • 0-1 • 0+1 • (-1)-1 • (-1)) = 0
Примеры:
B = a11•a22•a33 - a11•a32•a23 - a12•a21•a33 + a12•a31•a23 + a13•a21•a32 - a13•a31•a22
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.
| = |