Интервал сходимости степенного ряда
Назначение сервиса. Онлайн калькулятор предназначен нахождения области сходимости степенного ряда. Результаты вычисления оформляются в формате Word (см. пример).
- Все математические операции выражаются через общепринятые символы (
+,-,*,/,^
). Например, (x-4)n, записываем как(x-4)^n
. - Число π ≡ pi, корень квадратный √¯ ≡ sqrt. Например, sqrt(n^2+n), en = exp(n)
Пример. .
Решение.
Общий вид степенного ряда . В нашем случае x0=5, .
Известно, что область сходимости степенного ряда определяется величиной радиуса сходимости R:
|x-x0|<R
или x0-R<x<x0+R
Сходимость ряда на границах (при x=x0±R
) необходимо исследовать дополнительно.
Найдем радиус сходимости ряда, используя формулу Даламбера:
.
Имеем
;
.
Проверим сходимость ряда при . Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой ряд
.
Для исследования сходимости этого ряда используем формулу Стирлинга , верную для факториалов больших чисел.
Получим ряд сравнения. Этот ряд расходится.
Проверим сходимость ряда при . Подставляя это значение в исходный ряд, получим числовой ряд
.
Применяя к нему те же соотношения, получим ряд сравнения
.
Этот ряд сходится (по признаку Лейбница).
Итак, мы получили область сходимости исходного ряда:
.