Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн График функции онлайн Точки разрыва функции Экстремумы функции Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Решение пределов

Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0, сходящейся к точке x0(lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.
lim
x→
Если выбрать вид предела, то подробное решение по шагам будет доступно в MS Word:
1.
2. (см. пример).
3. правило Лопиталя.
4.
5. первого замечательного предела ,
6. второго замечательного предела , ,
Для нахождения предела слева используйте знак -, справа: +. Например, 0-, 1+

Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак как infinity
Некоторые виды записи пределов
sqrt(6-x)/(x^2-9)
sqrt(6-x)/(6+2*x)^(1/3)
log(1-tan(x),5)/sin(x*pi)
(x^2+2*x-2/3)/(x^3+x)
((3-3*x)/(4-3*x))^(2*x+1)
Например, найти предел запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity.
см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.
Вычислить указанные пределы:

1. = .

2. =
3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
.

4. .
5. = =

6. – не существует, так как -1<cos(x)<1.

7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
; .
Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а) =
Ответ: 1/5

б)

=
Ответ: 1/6
в) = e-2/2 = e-1
Ответ: 1/e

г)
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).
Найдем корни первого многочлена: x2+2x-3=0
D=22-4•1•(-3)=16
,
Найдем корни второго многочлена: x2-1=(x-1)(x+1)
Получаем:

Ответ: 2

д)

Ответ: 1/10