Решение пределов
запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем (нажимаем) .
Для наглядности можно отдельно заполнить числитель x^3 и знаменатель функции exp(cos(x)). Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Некоторые виды записи пределов
 | sqrt(6-x)/(x^2-9) |
 | sqrt(6-x)/(6+2*x)^(1/3) |
 | log(1-tan(x),5)/sin(x*pi) |
 | (x^2+2*x-2/3)/(x^3+x) |
 | ((3-3*x)/(4-3*x))^(2*x+1) |
Точки разрыва функции
Производная функции:
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
Вычисление интегралов
Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0, сходящейся к точке x0(lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.
см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.
Примеры.
Вычислить указанные пределы:
1. 
= 
.
= 
. Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
.
.
5.
= 
= 
6. 
– не существует, так как -1<cos(x)<1.
7. 
. Обозначим 
, причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.
8. 
. (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)
9. 
. Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
; 
.
Следовательно, 
– не существует (так как у функции разные односторонние пределы).
Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а)
= 
Ответ: 1/5
б) 
= 
= e-2/2 = e-1г) 
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).
Найдем корни первого многочлена: x2+2x-3=0
D=22-4•1•(-3)=16
, 
Найдем корни второго многочлена: x2-1=(x-1)(x+1)
Получаем:
Ответ: 2
д) 
Теория пределов. Основные понятия и формулы
Определение 1: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условию |x-a|≤δ, выполняется неравенство |f(x)-A|≤ε.Предел функции в точке а обозначается
Основные теоремы о пределах
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Примечание: Все правила имеют смысл, если пределы функций f(x) и g(x) существуют.
Замечательные пределы
1. Первый замечательный предел 
Следствия из первого замечательного предела 
, 
2. Второй замечательный предел 
Следствие из второго замечательного предела 
Техника вычисления пределов
а) Чтобы раскрыть неопределенность типа
, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной.
б) Чтобы раскрыть неопределенность типа
, где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности.
в) Чтобы раскрыть неопределенность типа
, если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель приводящий к неопределенности.
г) Необходимо помнить, что
, 
, ∞+C=∞, 
, 
, 
, 0+C=C
Пример 1. Вычислить 
Решение: 
Пример 2. Вычислить 
Решение: 
Пример 3. Вычислить 
Решение:
= 
Пример 4. Вычислить 
Решение:
Пример 5. Вычислить 
Решение:
Пример 6. Вычислить 
Решение:
Пример 7. Вычислить 
Решение:
Пример 8. Вычислить 
Решение:
