Производная функции

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (см. пример).
Если необходимо найти производные функции нескольких переменных z=f(x,y), то можно воспользоваться данным онлайн-калькулятором. Решение оформляется в формате Word.

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры

≡ x^2/(x+2)
cos²(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2

≡ x+(x-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Примеры

≡ x^2/(1+y)
cos²(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2

≡ 1+(x-y)^(2/3)

Если функция задана в виде y²-x=cos(y), то ее необходимо записать так: y^2-x-cos(y).

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

Все переменные выражаются через t

Примеры

≡ t^2/(1+t)
cos²(t) ≡ cos(t)^2

≡ 1+(t-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

Все переменные выражаются через t

Примеры

≡ t^2/(1+t)
cos²(t) ≡ cos(t)^2

≡ 1+(t-1)^(2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Решение пределов

Построение графика функции методом дифференциального исчисления
$Алгоритм исследования построения графика функции$
Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

Таблица производных

(x^α)’ = α x^α^-1
= ¹/₂x^1/2 =
(a^x)’ = a^x·lna
(e^x)’ = e^x
$Производная от логарифма с основанием log(a)$
$Производная от натурального логарифма ln$
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
$Производная от тангенса tg$
$Производная от котангенса ctg$
$Производная от арксинуса arcsin$
$Производная от арккосинуса arccos$
$Производная от арктангенса arctg$
$Производная от арккотангенса arcctg$
(shx)’ = chx
(chx)’ = shx

Примечание:

– гиперболический синус

– гиперболический косинус

– гиперболический тангенс

– гиперболический котангенс

Как найти производную, исходяя из ее определения?

Правила нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y=cos⁴x.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим
(cos⁴x)′_{cos x} = 4cos^4-1x = 4cos³x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной х; поэтому надо полученный результат умножить на производную от cos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′_x = (cos⁴x)′_{cos x}·(cosx)′_x = 4·cos³x·(-sin x) = -4·cos³x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2. Найти производную функции
.

.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))^v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию