Производная функции

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (см. пример).
Если необходимо найти производные функции нескольких переменных z=f(x,y), то можно воспользоваться данным онлайн-калькулятором. Решение оформляется в формате Word.

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры
$\frac{x^2}{x+2}$ ≡ x^2/(x+2)
cos²(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
$x+\sqrt[3]{(x-1)^2}$ ≡ x+(x-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Примеры

≡ x^2/(1+y)
cos²(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2

≡ 1+(x-y)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

Все переменные выражаются через t

Примеры

≡ t^2/(1+t)
cos²(t) ≡ cos(t)^2

≡ 1+(t-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

Все переменные выражаются через t

Примеры

≡ t^2/(1+t)
cos²(t) ≡ cos(t)^2

≡ 1+(t-1)^(2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Решение пределов

Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Алгоритм исследования построения графика функции

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

Таблица производных и Правила нахождения производных

(x^α)’ = α x^α^-1
$(\sqrt{x})^{\prime}$ = ¹/₂x^1/2 =
(a^x)’ = a^x·lna
(e^x)’ = e^x
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
$Производная от арксинуса arcsin$
$Производная от арккосинуса arccos$
(shx)’ = chx
(chx)’ = shx
$(th(x))'=\frac{1}{ch^{2}(x)}$
$(cth(x))'=-\frac{1}{sh^{2}(x)}$

Примечание:
$sh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ – гиперболический синус
$ch(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ – гиперболический косинус
$th(x)=\frac{sh(x)}{ch(x)}$ – гиперболический тангенс
$cth(x)=\frac{ch(x)}{sh(x)}$ – гиперболический котангенс

Как найти производную, исходяя из ее определения?

Прикладное использование производной

Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
Значение производной в точке x₀ позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.

Новые калькуляторы

Производная функции

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

Прикладное использование производной

Правила ввода данных

Поиск