Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Калькуляторы по этой теме
Собраны наиболее популярные калькуляторы по дисциплине Высшая математика.
Подробнее
Примеры решений Экстремумы функции Найти интеграл Точки перегиба Точки разрыва функции Интервалы возрастания функции Асимптоты функции Диф уравнения онлайн Предел функции Правило Лопиталя

Производная функции

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (см. пример).
Если необходимо найти производные функции нескольких переменных z=f(x,y), то можно воспользоваться данным онлайн-калькулятором. Решение оформляется в формате Word.
f(x) =
Примеры
F(x,y) =
Примеры
x =
y =


Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos2(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Примеры
≡ x^2/(1+y)
cos2(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ 1+(x-y)^(2/3)
Если функция задана в виде y2-x=cos(y), то ее необходимо записать так: y^2-x-cos(y).

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

  1. Все переменные выражаются через t
Примеры
≡ t^2/(1+t)
cos2(t) ≡ cos(t)^2
≡ 1+(t-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

  1. Все переменные выражаются через t
Примеры
≡ t^2/(1+t)
cos2(t) ≡ cos(t)^2
≡ 1+(t-1)^(2/3)
Таблица производных
  1. (xα)’ = α xα-1
  2. = 1/2x1/2 = производная sqrt(x)
  3. (ax)’ = ax·lna
  4. (ex)’ = ex
  5. Производная от логарифма с основанием log(a)
  6. Производная от натурального логарифма ln
  7. (sinx)’ = cosx
  8. (cosx)’ = -sinx
  9. Производная от тангенса tg
  10. Производная от котангенса ctg
  11. Производная от арксинуса arcsin
  12. Производная от арккосинуса arccos
  13. Производная от арктангенса arctg
  14. Производная от арккотангенса arcctg
  15. (shx)’ = chx
  16. (chx)’ = shx
  17. Производная от гиперболического тангенса th
  18. Производная от гиперболического котангенса cth
Примечание:
гиперболический синус – гиперболический синус
гиперболический косинус – гиперболический косинус
гиперболический тангенс – гиперболический тангенс
гиперболический котангенс – гиперболический котангенс

Как найти производную, исходяя из ее определения?

Правила нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y=cos4x.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим
(cos4x)′cos x = 4cos4-1x = 4cos3x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной х; поэтому надо полученный результат умножить на производную от cos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′x = (cos4x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos3x·(-sin x) = -4·cos3x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2. Найти производную функции
.


.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Учитывая, что , будем иметь
Но , откуда
.

Пример 4. Найти производную функции y=xex
Решение.
;
.

Прикладное использование производной

Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
  1. Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
  2. Значение производной в точке x0 позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
  3. Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
  4. В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
  5. При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
  6. В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.