Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть дано уравнение F(x,y)=0, не разрешенное относительно y. Если существует y=f(x) такая, что F[x,f(x)]=0, то говорят, что уравнение F(x,y)=0 задает y как функцию от x неявно. Обычное задание функции y=f(x) называют явным.
При таком способе задания функции производную находим, дифференцируя уравнение F(x,y)=0, считая y функцией от x (по правилу дифференцирования сложной функции).
F(x,y) =

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Примеры
x^2/(1+y)
cos2(2x+y)(cos(2*x+y))^2
1+(x-y)^(2/3)
см. также Производная от параметрической функции

Пример 1. Найти производную y’, не решая уравнения: x3 – x2y – x2y4 + 5 = 0 относительно y.
Решение. Так как в правой части уравнения стоит нуль, а производная постоянной равна нулю, то .
Применяя почленное дифференцирование, найдем 3x2 – 2xy – x2y’ – 2xy4 – 4x2y3y’ = 0, откуда .

Пример 2. Найти y’ функции, заданной неявно уравнением y*lnx – x2ey + 1 = 0 (x>0).
Решение. (производную от ey берем как производную сложной функции). Разрешая уравнение относительно y’ (что не всегда возможно), найдем .

Пример 3. Найти производную y’x функции y(x), заданной неявно: x4 + x2y + y3 + 5 = 0.
Решение.
Продифференцируем уравнение по х, рассматривая у как функцию от х, и решим полученное уравнение относительно y’x.
.