Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Пределы онлайн
Экстремумы функции Интервалы возрастания функции Точки перегиба
Диф уравнения онлайн Асимптоты функции Точки разрыва функции

Экстремумы функции

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y =
[;]


Правила ввода функций:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x* выполняется условие:

f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=3 8/81
Ответ: fmin=5/2 при x=2; fmax=9 при x=1

Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x).
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x). Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=±π/3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример, значит x=π/3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример, значит x=-π/3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0, то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4. Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x - первое слагаемое. Тогда (49-x) - второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x - x2

Наибольший объем цилиндра

Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R.
Решение:

Объем цилиндра равен: V = πr2H
где H = 2h,
Подставим эти значения в целевую функцию.

V → max
Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн и приравняем ее к нулю.
dV/dh = 2πR2 - 6πh2
dV/dh = 0
2πR2 - 6πh2 = 0 или R2 = 3h2
Откуда


При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.