Вычисление интегралов

Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается f(x)dx.
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять любые интегралы. Например, найти интеграл x3/3-sin(x). Запишем как x^3/3-sin(x) и нажимаем кнопку Получить решение.
Если интеграл определенный, например, решение интеграла онлайн, то записываем 2/x^4+tan(x), в качестве пределов интегрирования указываем 1, 2.


dx
Если определить вид интегрирования, подробное решение будет доступно в MS Word:
Не знаю (по возможности определяется метод решения, например, подведение под знак дифференциала)
Интегрирование по частям: xexdx, xcos(x)dx, ln(x2-1)dx, arcsin(4x)dx.
Интегрирование простейших иррациональности вида ,
Интегрирование простейших иррациональности вида
Интегрирование рациональных дробей вида .
Интегрирование тригонометрических функции вида
Примечание: число "пи" (π) записывается как pi; знак "бесконечность" (∞) ≡ infinity

Примеры правильной записи некоторых выражений

sqrt(6-x)
(6+2*x)^(1/3)
log5(1+x)log(1+x,5)
(2/3+x^2)/(x^3+x)
Таблица интегралов

Приемы нахождения неопределенных интегралов

Способы нахождения неопределенных интегралов:
  1. Подведение под знак дифференциала: .
  2. Интегрирование по частям: xexdx.
  3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример): .
  4. Интегрирование рациональных дробей (пример): .
  5. Интегрирование простейших иррациональностей: .
  6. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: cos4(x)sin3(x)dx.

Пример 1. Вычислить (3x+15)17dx.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем
= .
Пример 2. Вычислить .
Решение.
Аналогично предыдущему,
=

Пример 3. .
Решение. Поскольку
, то .

Пример 4. Вычислить
Решение. Так как
, то .

Пример 5. Вычислить .
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t2, x=t2+5, dx=2tdt.
Подставив в интеграл, получим
= .

Пример 6. Вычислить x2exdx.
Решение.
Положим u=x2, dv=exdx; тогда du=2xdx, v=ex. Применим формулу интегрирования по частям:
∫x2exdx=x2ex-2∫xex.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xex, применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv=exdx; тогда du=dx, v=ex и
∫xex=x2ex-2xex+2ex+C.

Пример 7. Вычислить .
Решение. Выделяя целую часть, получим: .
Учитывая, что x4+5x2+4=(x2+1)(x2+4), для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x2–4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x3: 0=A+C
x2: -5=B+D
x: 0=4A+C
x0: -4=4B+D

Отсюда находим A=C=0, B=1/3, D=-16/3.
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:
.

Пример 8. Вычислить .
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.
Следовательно,
.

Пример 9. Вычислить .
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку tgx/2=t, тогда
, , и
=
Возвращаясь к старой переменной, получим
= .

Пример 10. Вычислить .
Решение.
Произведем замену 1+3x8 = z2. Тогда , ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Пример 11.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки x=1. На любом же отрезке [1+ε;e] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому

.
Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на R. По определению
= =
Интеграл сходится.

Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2 и прямой x+y=2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x2 и прямой y=2-x. Решая уравнение x2=2-x, находим x1=-2, x2=1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.

Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск Поддержать проект